Question

已知函數(shù)．
（1）當(dāng)a＞2時，求函數(shù)f（x）的極小值；
（2）試討論曲線y=f（x）與x軸的公共點的個數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)為0時x的值，利用x的范圍討論導(dǎo)函數(shù)的正負來研究函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極小值即可；
（2）分情況當(dāng)a=0得到f（x）與x軸只有一個交點；當(dāng)a＜0時，討論函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值即可得到與x軸的交點；當(dāng)0＜a＜2時討論函數(shù)的增減性得到與x軸只有一個交點；當(dāng)a＞2時，由（1）得到函數(shù)的極大值小于0，得到與x軸有一個交點．
解答：解：（1）
∵a＞2，∴
∴當(dāng)或x＞1時，f'（x）＞0；
當(dāng)時，f'（x）＜0
∴f（x）在，（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減
故f（x）的極小值為
（2）①若a=0，則f（x）=-3（x-1）²
∴f（x）的圖象與x軸只有一個交點．
②若a＜0，則，
∴當(dāng)時，f'（x）＜0，
當(dāng)時，f'（x）＞0
∴f（x）的極大值為
∵f（x）的極小值為
∴f（x）的圖象與x軸有三個公共點．
③若0＜a＜2，則．
∴當(dāng)時，f'（x）＞0，
當(dāng)時，f'（x）＜0
∴f（x）的圖象與x軸只有一個交點
④若a=2，則f'（x）=6（x-1）²≥0
∴f（x）的圖象與x軸只有一個交點
⑤當(dāng)a＞2，由（1）知f（x）的極大值為，函數(shù)圖象與x軸只有一個交點．
綜上所述，若a≥0，f（x）的圖象與x軸只有一個公共點；
若a＜0，f（x）的圖象與x軸有三個公共點．
點評：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想來解決數(shù)學(xué)問題．