【題目】設(shè)函數(shù), ().
(1)當(dāng)時,若函數(shù)與的圖象在處有相同的切線,求的值;
(2)當(dāng)時,若對任意和任意,總存在不相等的正實(shí)數(shù),使得,求的最小值;
(3)當(dāng)時,設(shè)函數(shù)與的圖象交于 兩點(diǎn).求證: .
【答案】(1)(2)(3)見解析
【解析】試題分析:(1)由導(dǎo)數(shù)幾何意義可得,又,解方程組可得的值;(2)先轉(zhuǎn)化條件為對應(yīng)方程有兩個不等實(shí)根,再根據(jù)實(shí)根分布充要條件列不等式組,解得的最小值;(3)先根據(jù)零點(diǎn)表示b,代入要證不等式化簡得.再構(gòu)造函數(shù),以及,結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性,即證得結(jié)論
試題解析:解:(1)由,得,又,所以,.
當(dāng)時, ,所以,所以.
因?yàn)楹瘮?shù)與的圖象在處有相同的切線,
所以,即,解得.
(2)當(dāng)時,則,又,設(shè),
則題意可轉(zhuǎn)化為方程在上有相異兩實(shí)根.
即關(guān)于的方程在上有相異兩實(shí)根.
所以,得,
所以對恒成立.
因?yàn)?/span>,所以(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號),
又,所以的取值范圍是,所以.
故的最小值為.
(3)當(dāng)時,因?yàn)楹瘮?shù)與的圖象交于兩點(diǎn),
所以,兩式相減,得.
要證明,即證,
即證,即證.
令,則,此時即證.
令,所以,所以當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞增.
又,所以,即成立;
再令,所以,所以當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞減,
又,所以,即也成立.
綜上所述, 實(shí)數(shù)滿足.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)是定義域?yàn)?/span>R的周期函數(shù),最小正周期為2,且
f(1+x)=f(1-x),當(dāng)-1≤x≤0時,f(x)=-x.
(1)判斷f(x)的奇偶性;
(2)試求出函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,2]上的表達(dá)式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某城市隨機(jī)抽取一年(365天)內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)(Air Pollution Index)的監(jiān)測數(shù)據(jù),結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下:
大于300 | |||||||
空氣質(zhì)量 | 優(yōu) | 良 | 輕微污染 | 輕度污染 | 中度污染 | 中度重 污染 | 重度污染 |
天數(shù) | 10 | 15 | 20 | 30 | 7 | 6 | 12 |
(Ⅰ)若本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有30天是在供暖季,其中有7天為重度污染,完成下面列聯(lián)表,并判斷能否有的把握認(rèn)為該市本年空氣重度污染與供暖有關(guān)?
非重度污染 | 重度污染 | 合計(jì) | |
供暖季 | |||
非供暖季 | |||
合計(jì) | 100 |
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
附:
(Ⅱ)政府要治理污染,決定對某些企業(yè)生產(chǎn)進(jìn)行管控,當(dāng)在區(qū)間時企業(yè)正常生產(chǎn);當(dāng)在區(qū)間時對企業(yè)限產(chǎn)(即關(guān)閉的產(chǎn)能),當(dāng)在區(qū)間時對企業(yè)限產(chǎn),當(dāng)在300以上時對企業(yè)限產(chǎn),企業(yè)甲是被管控的企業(yè)之一,若企業(yè)甲正常生產(chǎn)一天可得利潤2萬元,若以頻率當(dāng)概率,不考慮其他因素:
①在這一年中隨意抽取5天,求5天中企業(yè)被限產(chǎn)達(dá)到或超過的恰為2天的概率;
②求企業(yè)甲這一年因限產(chǎn)減少的利潤的期望值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)在區(qū)間內(nèi)至少存在一個實(shí)數(shù),使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) ,且 .
(Ⅰ)設(shè) ,求的單調(diào)區(qū)間及極值;
(Ⅱ)證明:函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象的上方.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】共享單車因綠色、環(huán)保、健康的出行方式,在國內(nèi)得到迅速推廣.最近,某機(jī)構(gòu)在某地區(qū)隨機(jī)采訪了10名男士和10名女士,結(jié)果男士、女士中分別有7人、6人表示“經(jīng)常騎共享單車出行”,其他人表示“較少或不選擇騎共享單車出行”.
(1)從這些男士和女士中各抽取一人,求至少有一人“經(jīng)常騎共享單車出行”的概率;
(2)從這些男士中抽取一人,女士中抽取兩人,記這三人中“經(jīng)常騎共享單車出行”的人數(shù)為,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 ,其焦距為2,離心率為
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為, 為軸上一點(diǎn),滿足,過點(diǎn)作斜率不為0的直線交橢圓于兩點(diǎn),求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線與橢圓交于點(diǎn), (在軸上方),且.設(shè)點(diǎn)在軸上的射影為,三角形的面積為2(如圖1).
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)平行于的直線與橢圓相交,其弦的中點(diǎn)為.
①求證:直線的斜率為定值;
②設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn), (在軸上方),點(diǎn)為橢圓上異于, , , 一點(diǎn),直線交于點(diǎn), 交于點(diǎn),如圖2,求證: 為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)已知點(diǎn),過點(diǎn)的直線(與軸不重合)與橢圓交于兩點(diǎn),直線與直線相交于點(diǎn),試證明:直線與軸平行.
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