已知兩點(diǎn)A，B分別在直線y=x和y=-x上運(yùn)動(dòng)，且，動(dòng)點(diǎn)P滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)P的軌跡記為曲線C。
（1）求曲線C的方程；
（2）過曲線C上任意一點(diǎn)作它的切線l，與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，求證：為定值。
解：（1）設(shè)P（x，y），A（x1，x1），B（x2，-x2）
∵
∴P是線段AB的中點(diǎn)
∴
∵
∴
∴
∴化簡(jiǎn)得點(diǎn)P的軌跡C的方程為。
（2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：y=kx+m，
∵l與C相切，
∴
∴
聯(lián)立
設(shè)M （x1，y1），N（x2，y2），
則
∴
又
∴
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為，
代入橢圓方程得或
此時(shí)，
綜上所述，為定值0。
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知兩點(diǎn)A、B分別在直線y=x和y=-x上運(yùn)動(dòng)，且|AB|=
4
5
5
，動(dòng)點(diǎn)P滿足2
OP
=
OA
+
OB
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)P的軌跡記為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）過曲線C上任意一點(diǎn)作它的切線l，與橢圓
x2
4
+y2=1交于M、N兩點(diǎn)，求證：
OM
•
ON
為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知兩點(diǎn)A、B分別在直線y=x和y=-x上運(yùn)動(dòng)，且數(shù)學(xué)公式，動(dòng)點(diǎn)P滿足數(shù)學(xué)公式（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)P的軌跡記為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）過曲線C上任意一點(diǎn)作它的切線l，與橢圓數(shù)學(xué)公式交于M、N兩點(diǎn)，求證：數(shù)學(xué)公式為定值．

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已知兩點(diǎn)A、B分別在直線y=x和y=-x上運(yùn)動(dòng)，且|AB|=，動(dòng)點(diǎn)P滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)P的軌跡記為曲線C。
（1）求曲線C的方程；
（2）過曲線C上任意一點(diǎn)作它的切線l，與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，求證：為定值。

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已知兩點(diǎn)A、B分別在直線y=x和y=-x上運(yùn)動(dòng)，且，動(dòng)點(diǎn)P滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)P的軌跡記為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）過曲線C上任意一點(diǎn)作它的切線l，與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，求證：為定值．

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（1）求曲線C的方程；
（2）過曲線C上任意一點(diǎn)作它的切線l，與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，求證：為定值．

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