Question

設(shè)實(shí)數(shù)，整數(shù)，.
（1）證明：當(dāng)且時(shí)，；
（2）數(shù)列滿足，，證明：.

Answer 1

（1）證明：當(dāng)且時(shí)，；（2）.

試題分析：（1）證明原不等式成立，可以用數(shù)學(xué)歸納法，當(dāng)時(shí)，當(dāng)，由成立.得出當(dāng)時(shí)，
，綜合以上當(dāng)且時(shí)，對(duì)一切整數(shù)，不等式均成立.（2）可以有兩種方法證明：第一種方法，先用數(shù)學(xué)歸納法證明.其中要利用到當(dāng)時(shí)，.當(dāng)得.由（1）中的結(jié)論得.因此，即.所以時(shí)，不等式也成立.綜合①②可得，對(duì)一切正整數(shù)，不等式均成立.再證由可得，即.第二種方法，構(gòu)造函數(shù)設(shè)，則，并且
.由此可得，在上單調(diào)遞增，因而，當(dāng)時(shí)，.再利用數(shù)學(xué)歸納法證明.
（1）證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明
①當(dāng)時(shí)，，原不等式成立.
②假設(shè)時(shí)，不等式成立.
當(dāng)時(shí)，
所以時(shí)，原不等式也成立.
綜合①②可得，當(dāng)且時(shí)，對(duì)一切整數(shù)，不等式均成立.
證法1：先用數(shù)學(xué)歸納法證明.
①當(dāng)時(shí)，由題設(shè)知成立.②假設(shè)時(shí)，不等式成立.
由易知.
當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)得.
由（1）中的結(jié)論得.
因此，即.所以時(shí)，不等式也成立.
綜合①②可得，對(duì)一切正整數(shù)，不等式均成立.
再由可得，即.
綜上所述，.
證法2：設(shè)，則，并且
.
由此可得，在上單調(diào)遞增，因而，當(dāng)時(shí)，.
①當(dāng)時(shí)，由，即可知
，并且，從而.
故當(dāng)時(shí)，不等式成立.
②假設(shè)時(shí)，不等式成立，則當(dāng)時(shí)，，即有.
所以當(dāng)時(shí)，原不等式也成立.
綜合①②可得，對(duì)一切正整數(shù)，不等式均成立.