已知函數(shù)f（x）=
1
1+x2
，
（1）求證：函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；  
（2）求證：函數(shù)f（x）在（-∞，0]上是增函數(shù)．
考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)
專題：導數(shù)的綜合應用
分析：（1）f（x）的定義域為x∈R，只要證明f（-x）=f（x）即可；
（2）只要證明f′（x）≥0在（-∞，0]上成立即可．
解答： 證明：（1）f（x）的定義域為x∈R，
∵f（-x）=
1
1+(-x)2
=
1
1+x2
=f(x)，
∴f（x）為偶函數(shù)．
（2）∵x∈（-∞，0]，
∴f′（x）=-
2x
(1+x2)2
≥0，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，0]上是增函數(shù)．
點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知tanα=-
5
12
，求sinα和cosα的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知A（-1，0），B（1，0），動點M滿足|MA|+|MB|=4，記動點M的軌跡為曲線C
（1）求曲線C的方程；
（2）若點P在曲線C上，且滿足
PA
•
PB
=t，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知正三棱柱ABC-A′B′C′棱長均為2，點D在側(cè)棱BB′上．
（Ⅰ）求AD+DC′的最小值；
（Ⅱ）當AD+DC′取最小值時，求面ADC′和面ABB′A′所成的銳二面角的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知：f（x）=
1
2
x2-（a2+2）x+（a2+1）lnx，（a∈R）．
（Ⅰ）當a=1時，求f（x）的極大值與極小值；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在極坐標系Ox中，已知曲線C1：ρcos（θ+
π
4
）=
2
2
與曲線C2；ρ=1相交于A、B兩點，求線段AB的長度．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某部門為了了解用電量y（單位：度）與氣溫x（單位：℃）之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計了某4天的用電量與當天氣溫，因某天統(tǒng)計的用電量數(shù)據(jù)丟失，用t表示，如下表：
氣溫（℃）181310-1
用電量（度）24t3864
（1）由以上數(shù)據(jù)，求這4天氣溫的標準差（結(jié)果用根式表示）．
（2）若用電量與氣溫之間具有較好的線性相關(guān)關(guān)系，回歸直線方程為
y
=-2x+b，且預測氣溫為-4℃時，用電量為2t度．求t、b的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點．
（Ⅰ）證明：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求四棱錐E-ABCD的體積V；
（Ⅲ）求二面角E-AD-C的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

3名男生和3名女生站成一排，3名女生中有且只有2名相鄰，則不同的排法種數(shù)為
 
．

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