Question

已知a_n=aⁿ（a是常數(shù)，a≠0且a≠1），S_n為|a_n|的前n項和，b_n=

2Sn

an

+1，若數(shù)列|b_n|是等比數(shù)列，則a=

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：依題意，通過對參數(shù)a分a＞0與a＜0兩類討論，可分別求得b₁、b₁、b₁的值，利用數(shù)列|b_n|是等比數(shù)列，得|b₂|²=|b₁|•|b₃|，從而可求得a的值．

解答： 解：∵b_n=

2Sn

an

+1，a_n=aⁿ（a是常數(shù)，a≠0且a≠1），
當a＞0時，|b_n|=b_n，
∴b₁=

2|a1|

a1

+1=

2|a|

a

+1=3，
b₂=

2(|a1|+|a2|)

a2

+1=

2(a+a2)

a2

+1=

2

a

+3，
b₃=

2(a+a2+a3)

a3

+1=

2

a2

+

2

a

+3，
∵數(shù)列|b_n|是等比數(shù)列，
∴|b₂|²=|b₁|•|b₃|，即b₂²=b₁•b₃，（

2

a

+3）²=3（

2

a2

+

2

a

+3），
整理得：

1

a2

-

3

a

=0，解得a=

1

3

．
當a＜0時，同理可得b₁=-1，b₂=-

2

a

+3，b₃=-

2

a2

+

2

a

-1，
∵數(shù)列|b_n|是等比數(shù)列，
∴（-

2

a

+3）²=1×（

2

a2

-

2

a

+1），
整理得：

1

a2

-

5

a

+4=0，解得

1

a

=1（舍去）或

1

a

=4（舍去）．
綜上所述，a=

1

3

．
故答案為：

1

3

．

點評：本題考查遞推關系的應用，突出考查等比關系的確定，考查分類討論思想與綜合運算能力，屬于難題．