Question

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
將圓x²+y²=4上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)壓縮至原來的，所得曲線記作C； 直線l：
（I）寫出直線l與曲線C的直角坐標(biāo)方程
（II）求C上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）①由直線l：，化為2ρcosθ+3ρsinθ=8，2x+3y=8；
②設(shè)要求的曲線C上的點(diǎn)P（x，y）是由圓x²+y²=4上點(diǎn)P^′（x^′，y^′）的縱坐標(biāo)壓縮至原來的而得到的，
則，解得，而（x^′）²+（y^′）²=4，
∴x²+（2y）²=4，化為．
（Ⅱ）設(shè)直線m∥l且m與橢圓相切，則直線m的方程可設(shè)為2x+3y+t=0，聯(lián)立，
消去y得到25x²+16tx+4t²-36=0，
∵相切，
∴△=（16t）²-100（4t²-36）=0，解得t=±5．
可以知道當(dāng)t=5時(shí)，得到的切點(diǎn)到直線l的距離最大．
把t=5代入（*）得（5x+8）²=0，解得，代入2x+3y+5=0，解得y=，
∴切點(diǎn)為．
由點(diǎn)到直線的距離公式即可得切點(diǎn)到直線l：2x+3y-8=0的距離d==，即為所求的最大值．
分析：（Ⅰ）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式和“代點(diǎn)法”即可得出；
（Ⅱ）把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用相切時(shí)的切點(diǎn)即可得出．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式和“代點(diǎn)法”、直線與橢圓相切問題?△=0是解題的關(guān)鍵．