Question

如圖，在多面體ABDEC中，AE⊥平面ABC，BD∥AE，且AC=AB=BC=AE=1，BD=2，F(xiàn)為CD中點(diǎn)．
（I）求證：EF∥平面ABC；
（II）求證：EF⊥平面BCD；
（III）求多面體ABDEC的體積．

Answer 1

證明：（Ⅰ）取BC中點(diǎn)G點(diǎn)，連接AG，F(xiàn)G，
∵F，G分別為DC，BC中點(diǎn)，
∴FGDBEA，
∴四邊形EFGA為平行四邊形，
∴EF∥AG．
又∵EF?平面ABC，AG?平面ABC，
∴EF∥平面ABC，…．4分
（2）∵AE⊥面ABC，BD∥AE，
∴DB⊥平面ABC，
又∵DB?平面BCD，
∴平面ABC⊥平面BCD，
又∵G為 BC中點(diǎn)且AC=AB=BC，
∴AG⊥BC，
∴AG⊥平面BCD，
又∵EF∥AG，
∴EF⊥平面BCD …．8分
（3）過(guò)C作CH⊥AB，則CH⊥平面ABDE且CH=，
∴V_C-ABDE=×S_{四邊形ABDE}×CH
=××1×
=…12分．
分析：（Ⅰ）取BC中點(diǎn)G點(diǎn)，連接AG，F(xiàn)G，則四邊形EFGA為平行四邊形，于是EF∥AG，利用線面平行的判定定理即可證得EF∥平面ABC；
（Ⅱ）易證AG⊥平面BCD，而EF∥AG，從而由線面垂直的性質(zhì)可得EF⊥平面BCD；
（Ⅲ）過(guò)C作CH⊥AB，則CH⊥平面ABDE易求CH=，而V_C-ABDE=×S_{四邊形ABDE}×CH，計(jì)算即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的判定與直線與平面垂直的判定，掌握直線與平面平行與垂直的判定定理是解決問(wèn)題之關(guān)鍵，考查分析與運(yùn)算、準(zhǔn)確書(shū)寫(xiě)與完整表達(dá)的能力，屬于中檔題．