已知E(2,2)是拋物線C:y2=2px上一點(diǎn),經(jīng)過點(diǎn)(2,0)的直線l與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)(不同于點(diǎn)E),直線EA,EB分別交直線x=-2于點(diǎn)M,N.
(Ⅰ)求拋物線方程及其焦點(diǎn)坐標(biāo);
(Ⅱ)已知O為原點(diǎn),求證:∠MON為定值.
分析:(Ⅰ)將E(2,2)代入y2=2px,得p=1,由此能求出拋物線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo).
(Ⅱ)設(shè)A(
y12
2
,y1),B(
y22
2
,y2),M(xM,yM),N(xN,yN),設(shè)直線l方程為y=k(x-2),與拋物線方程聯(lián)立得到ky2-2y-4k=0,由韋達(dá)定理,得y1y2=-4,y1+y2=
2
k
,由此能夠推導(dǎo)出∠MON為定值.
解答:(本小題滿分14分)
(Ⅰ)解:將E(2,2)代入y2=2px,得p=1,
所以拋物線方程為y2=2x,焦點(diǎn)坐標(biāo)為(
1
2
,0).…(3分)
(Ⅱ)證明:設(shè)A(
y12
2
,y1),B(
y22
2
,y2),M(xM,yM),N(xN,yN),
因?yàn)橹本l不經(jīng)過點(diǎn)E,所以直線l一定有斜率
設(shè)直線l方程為y=k(x-2),
與拋物線方程聯(lián)立得到
y=k(x-2)
y2=2x
,消去x,得:
ky2-2y-4k=0,
則由韋達(dá)定理得:
y1y2=-4,y1+y2=
2
k
,…(6分)
直線AE的方程為:y-2=
y1-2
y12
2
-2
(x-2)
,
即y=
2
y1+2
(x-2)+2

令x=-2,得yM=
2y1-4
y1+2
,…(9分)
同理可得:yN=
2y2-4
y2+2
,…(10分)
又∵
OM
=(-2,yM)
,
ON
=(-2,yN)

所以
OM
ON
=4+yMyN=4+
2y1-4
y1+2
2y2-4
y2+2

=4+
4[y1y2-2(y1+y2)+4]
[y1y2+2(y1+y2)+4]

=4+
4(-4-
4
k
+4)
4(-4+
4
k
+4)
=0…(13分)
所以O(shè)M⊥ON,即∠MON為定值
π
2
…(14分).
點(diǎn)評(píng):本題考查拋物線方程及其焦點(diǎn)坐標(biāo)的求法,考查角為定值的證明,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意拋物線的簡單性質(zhì),直線與拋物線的位置關(guān)系、韋達(dá)定理等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用.
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已知P(x0,y0)是拋物線y2=2px(p>0)上的一點(diǎn),過P點(diǎn)的切線方程的斜率可通過如下方式求得:
在y2=2px兩邊同時(shí)對x求導(dǎo),得:2yy′=2p,則y′=
p
y
,所以過P的切線的斜率:k=
p
y0
試用上述方法求出雙曲線x2-
y2
2
=1
P(
2
2
)
處的切線方程為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知P(x,y)是拋物線y2=-8x的準(zhǔn)線與雙曲線
x2
8
-
y2
2
=1
的兩條漸近線所圍成的三角形平面區(qū)域內(nèi)(含邊界)的任意一點(diǎn),則z=
y+2
x
的范圍是
[
1
2
, +∞)
[
1
2
, +∞)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:山東省濟(jì)寧市金鄉(xiāng)二中2012屆高三11月月考數(shù)學(xué)文科試題 題型:044

已知雙曲線C:的一個(gè)焦點(diǎn)是拋物線y2=2x的焦點(diǎn),且雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)(1,),又知直線l:y=kx+1與雙曲線C相交于A、B兩點(diǎn).

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已知點(diǎn)P(m,3)是拋物線y=x2+4x+n上距點(diǎn)?A(-2,0)最近一點(diǎn),則m+n等于(    )

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已知P(x0,y0)是拋物線y2=2px(p>0)上的一點(diǎn),過P點(diǎn)的切線方程的斜率可通過如下方式求得:
在y2=2px兩邊同時(shí)對x求導(dǎo),得:2yy′=2p,則y′=
p
y
,所以過P的切線的斜率:k=
p
y0
試用上述方法求出雙曲線x2-
y2
2
=1
P(
2
,
2
)
處的切線方程為______.

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