Question

設(shè)集合S={1，2，3，…，2008}，現(xiàn)對S的任一非空子集X，令a_x表示X中最大數(shù)與最小數(shù)之和，那么所有這樣的a_x的平均數(shù)為________．

Answer 1

2009
分析：因為對于M的任一非空子集Z={n₁，n₂，n₃，…}，可找出它的對稱集Z′={2009-n₁，2009-n₂，2009-n₃，…}，對稱集的最大值與最小值的平均數(shù)為2009．
解答：對于M的任一非空子集Z={n₁，n₂，n₃，…}，可找出它的對稱集Z′={2009-n₁，2009-n₂，2009-n₃，…}．
例如：當(dāng)Z={1，2，4，6}，則Z′={2003，2005，2007，2008}
對于M的所有非空子集Z和它的對稱集Z′，分成兩種情況：
A）Z=Z′
B）Z≠Z′
設(shè)Z的最大數(shù)與最小數(shù)分別為max，min
如果Z=Z′，則max+min=max+（2009-max）=2009
如果Z≠Z′，則Z′的最大數(shù)與最小數(shù)分別為2009-min，2009-max，
Z與Z′中最大數(shù)與最小數(shù)之和的算術(shù)平均數(shù)=[（max+min）+（2009-min+2009-max）]÷2=20019
以上說明對M的所有非空子集分類后，每個類中Z的最大數(shù)與最小數(shù)之和的算術(shù)平均數(shù)都等于1001，故所求的算術(shù)平均數(shù)也是2009
故答案為2009
點評：解決集合間的包含關(guān)系，應(yīng)該利用集合關(guān)系的定義進(jìn)行解決．