Question

某軍工企業(yè)生產(chǎn)一種精密電子儀器的固定成本為20 000元，每生產(chǎn)一臺儀器需增加投入100元，已知總收益滿足函數(shù)：

R(x)=，其中x是儀器的月產(chǎn)量.

(1)將利潤表示為月產(chǎn)量的函數(shù).

(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤是多少元？(總收益=總成本+利潤)

Answer 1

思路分析：本題主要考查二次函數(shù)及其最值，以及應(yīng)用二次函數(shù)解決實(shí)際問題的能力.(1)利潤=總收益-總成本；(2)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，由于此函數(shù)是分段函數(shù)，則要求出各段上的最大值，再從中找出函數(shù)的最大值.

解：(1)設(shè)月產(chǎn)量為x臺，則總成本為20 000+100x，從而利潤

f(x)=

(2)當(dāng)0≤x≤400時，f(x)=(x-300)²+25 000,所以當(dāng)x=300時，有最大值25 000；

當(dāng)x＞400時，f(x)=60 000-100x是減函數(shù)，

所以f(x)＜60 000-100×400＜25 000.

所以當(dāng)x=300時，有最大值25 000,

即當(dāng)月產(chǎn)量為300臺時，公司所獲利潤最大，最大利潤是25 000元.

綠色通道：二次函數(shù)模型是一種常見的函數(shù)應(yīng)用模型，是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn).其解題關(guān)鍵是列出二次函數(shù)解析式，即建立函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值等問題.