已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)f(x)=x2+2ex，g(x)=3e2lnx+b（其中e為常數(shù)，e=2.718 28…），若這兩個函數(shù)的圖象有公共點，且在該點處的切線相同，
(Ⅰ)求實數(shù)b的值；
(Ⅱ)當(dāng)x∈[，e]時，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。
解：(Ⅰ)，
設(shè)函數(shù)與的圖象有公共點為，
由題意，得，
解得：。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，
所以，，
即，①
當(dāng)時，lnx＜0，∴x-lnx＞0，
當(dāng)時，lnx≤1≤x，且等號不能同時成立，
∴x-lnx＞0，
所以，則由①式可得在[，e]上恒成立，
設(shè)，
又，
令，得x=1，
又lnx≤1，
∴，
所以，當(dāng)時，；
當(dāng)時，，
所以，函數(shù)F（x）在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
又，
故，
所以，實數(shù)a的取值范圍是。
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)f（x）=x2+4ax+1，g（x）=6a2lnx+2b+1，其中a＞0．
（Ⅰ）設(shè)兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點，且在該點處的切線相同，用a表示b，并求b的最大值；
（Ⅱ）設(shè)h（x）=f（x）+g（x），證明：若a≥
3
-1，則對任意x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2有
h(x2)-h(x1)
x2-x1
＞8．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)f(x)=
12
x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，其中a＞0，設(shè)兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點，且在該點處的切線相同．
（Ⅰ）用a表示b，并求b的最大值；
（Ⅱ）求證：f（x）≥g（x）（x＞0）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)f（x）滿足①若x＞1，則f（x）＜0；②f(
12
)=1；③對定義域內(nèi)的任意實數(shù)x，y，都有：f（xy）=f（x）+f（y），則不等式f（x）+f（5-x）≥-2的解集為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在正實數(shù)集上的連續(xù)函數(shù)f(x)=
1
1-x
+
2
x2-1
(0＜x＜1)
x+a   (x≥1)
，則實數(shù)a的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•河西區(qū)二模）已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)f（x）=
3x22
+ax，g（x）=4a2lnx+b，其中a＞0，設(shè)兩曲線x=f（x）與f=g（x）有公共點，且在公共點處的切線相同．
（I）若a=1，求兩曲線y=f（x）與y=g（x）在公共點處的切線方程；
（Ⅱ）用a表示b，并求b的最大值．

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