Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，則面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA=PD=，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O為AD中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求異面直線PB與CD所成角的大小；
（Ⅲ）線段AD上是否存在點(diǎn)Q，使得它到平面PCD的距離為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：法一：（Ⅰ）證明直線PO⊥平面ABCD，因?yàn)槠矫鍼AD⊥底面ABCD，只需證明面PAD內(nèi)的直線PO垂直這兩個平面的交線即可即；
（Ⅱ）連接BO，說明∠PBC是異面直線PB與CD所成的角，然后解三角形，求異面直線PD與CD所成角的大��；
（Ⅲ）線段AD上存在點(diǎn)Q，設(shè)QD=x，利用等體積方法，求出比值．
法二：建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量．
利用向量數(shù)量積解答（Ⅱ）；利用平面的法向量和數(shù)量積解答（Ⅲ）即可．
解答：解：（Ⅰ）證明：在△PAD中，PA=PD，O為AD的中點(diǎn)，所以PO⊥AD
又側(cè)面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD
所以PO⊥平面ABCD．

（Ⅱ）連接BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，AD=2AB=2BC=2有OD∥BC
且OD=BC，所以四邊形OBCD是平行四邊形，所以O(shè)B∥DC
由（Ⅰ）知PO⊥OB，∠PBC是銳角，
所以∠PBC是異面直線PB與CD所成的角
因?yàn)锳D=2AB=2BC=2，在Rt△AOB中，AB=1，AO=1，所以O(shè)B=
在Rt△AOP中  因?yàn)锳P=AO=1，所以O(shè)P=1
在Rt△AOP中tan∠PBC=
所以：異面直線PB與CD所成角的大小．

（Ⅲ）假設(shè)存在點(diǎn)Q，使得它到平面PCD的距離為．
設(shè)QD=x，則，由（Ⅱ）得CD=OB=，
在Rt△POC中，，
所以PC=CD=DP，，
由V_p-DQC=V_Q-PCD，得x=，所以存在點(diǎn)Q滿足題意，此時．

解法二：
（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
依題意，易得A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1），
所以．
所以異面直線PB與CD所成的角是arccos，

（Ⅲ）假設(shè)存在點(diǎn)Q，使得它到平面PCD的距離為，
由（Ⅱ）知．
設(shè)平面PCD的法向量為n=（x，y，z）．
則所以即x=y=z，
取x=1，得平面PCD的一個法向量為=（1，1，1）．
設(shè)，由，得，
解y=-或y=（舍去），
此時，所以存在點(diǎn)Q滿足題意，此時．
點(diǎn)評：本題主要考查直線與平面位置關(guān)系、異面直線所成角、點(diǎn)到平面的距離等基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力．
第一問就建立坐標(biāo)系的就會導(dǎo)致錯誤．再者就是線與線所成角應(yīng)該在才可