Question

已知x=1是函數(shù)g（x）=1-alnx-x的唯一零點，則實數(shù)a的取值范圍（　�。�

A．[0，+∞）

B．[0，+∞）∪{-1}

C．[-1，0]

D．（-∞，-1]

Answer 1

∵x=1是函數(shù)g（x）=1-alnx-x的唯一零點，可知函數(shù)g（x）在（0，+∞）上具有單調(diào)性．
又g′(x)=-

a

x

-1．（x＞0）
①當(dāng)a≥0時，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）具有單調(diào)性，因此a的值適合；
②當(dāng)a＜0時，令g′(x)=

-a-x

x

=0，則x=-a．
當(dāng)0＜x＜-a時，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；當(dāng)-a＜x時，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減法．
∴函數(shù)g（x）在x=-a時取得極大值也即最大值，
由題意x=1是函數(shù)g（x）=1-alnx-x的唯一零點，必須g（-a）=0，即-a=1，解得a=-1．
綜上可知：實數(shù)a的取值范圍是{-1}∪[0，+∞）．
故選B．