【題目】設(shè)函數(shù).

(1)試討論函數(shù)的單調(diào)性;

(2)如果且關(guān)于的方程有兩解 ),證明.

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析.

【解析】試題分析:

(1)求解函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),分類討論可得:

①若,則當(dāng)時(shí),數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí), 函數(shù)單調(diào)遞增;

②若,函數(shù)單調(diào)遞增;

③若,則當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增.

(2)原問(wèn)題即證明,構(gòu)造新函數(shù) ,結(jié)合新函數(shù)的性質(zhì)和題意即可證得結(jié)論.

試題解析:

(1)由,可知 .

因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?/span>,所以,

①若,則當(dāng)時(shí), ,函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí), ,函數(shù)單調(diào)遞增;

②若,則當(dāng)內(nèi)恒成立,函數(shù)單調(diào)遞增;

③若,則當(dāng)時(shí), ,函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí), ,函數(shù)單調(diào)遞增.

(2)要證,只需證.

設(shè) ,

因?yàn)?/span>,

所以為單調(diào)遞增函數(shù).

所以只需證

即證,

只需證 .(*)

,

所以兩式相減,并整理,得 .

代入(*)式,

得只需證,

可化為.

,得只需證.

),

,

所以在其定義域上為增函數(shù),

所以.

綜上得原不等式成立.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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B.50家
C.20家
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A.73.3,75,72
B.72,75,73.3
C.75,72,73.3
D.75,73.3,72

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