曲線C是平面內與兩個定點F1(-1,0)和F2(1,0)的距離的積等于常數(shù)a2(a>1)的點的軌跡,給出下列三個結論:
①曲線C過坐標原點;
②曲線C關于坐標原點對稱;
③若點P在曲線C上,
則V F1PF2的面積不大于
1
2
a2正確的個數(shù)是( 。
分析:由題意曲線C是平面內與兩個定點F1(-1,0)和F2(1,0)的距離的積等于常數(shù)a2(a>1),利用直接法,設動點坐標為(x,y),及可得到動點的軌跡方程,然后由方程特點即可加以判斷.
解答:解:對于①,由題意設動點坐標為(x,y),則利用題意及兩點間的距離公式的得:[(x+1)2+y2]•[(x-1)2+y2]=a4,將原點代入驗證,此方程不過原點,所以①錯;
對于②,把方程中的x被-x代換,y被-y 代換,方程不變,故此曲線關于原點對稱,故②正確;
對于③,由題意知點P在曲線C上,則△F1PF2的面積S△F1PF2=
1
2
×2×y=y,由①知y2=-x2-1+
4x2+a4
或y2=-x2-1-
4x2+a4
(舍去),
4x2+a4
=t,則x2=
t2-a4
4

∴y2=-
t2-a4
4
-1+t=-
1
4
(t-2)2+
a4
4
a4
4

∴S△F1PF22=y2
1
2
a2,故③正確
故選B.
點評:本題考查利用直接法求出動點的軌跡方程,考查利用方程判斷曲線的對稱性及利用解析式選擇換元法求出值域,屬于中檔題.
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①曲線C過坐標原點;
②曲線C關于坐標原點對稱;
③若點P在曲線C上,則△F1PF2的面積不大于
12
a2
其中,所有正確結論的序號是
 

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1
2
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②曲線C關于原點對稱;
③|PF1|-|PF2|為定值;
④△PF1F2的面積最大值為2
2
.其中正確結論的序號是

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①曲線C過坐標原點;
②曲線C關于坐標原點對稱;
③若點P在曲線C上,則△F1PF2的面積不大于a2
其中,所有正確結論的序號是   

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曲線C是平面內與兩個定點F1(-1,0)和F2(1,0)的距離的積等于常數(shù)a2(a>1)的點的軌跡.給出下列三個結論:
①曲線C過坐標原點;
②曲線C關于坐標原點對稱;
③若點P在曲線C上,則△F1PF2的面積不大于a2
其中,所有正確結論的序號是   

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