Question

如圖，點A（1，

3

）在橢圓

x2

2

+

y2

n

=1上，過點A引兩直線與橢圓分別交于B、C兩點，若直線AB、AC與x軸圍成以點A為頂點的等腰三角形．
（Ⅰ）求直線BC的斜率；
（Ⅱ）當(dāng)點B、C在什么位置時，△ABC的面積最大？面積最大值是多少？

Answer 1

分析：（Ⅰ）點A（1，

3

）在橢圓

x2

2

+

y2

n

=1上，代入橢圓方程得n得出橢圓方程，設(shè)直線l_AB：y=kx+

3

-k（k≠0）與橢圓方程 3x²+y²-6=0聯(lián)立得到（3+k²）x²+2（

3

-k）kx+k²-2

3

k-3=0由韋達定理知及直線AB、AC與x軸圍成底邊在x軸上的等腰三角形，得到B，C的坐標(biāo)，最后利用斜率公式計算即得．
（II）根據(jù)（I）得直線BC的斜率為：

3

．設(shè)直線BC的方程為：y=

3

x+m，將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用弦長公式即可求得三角形ABC的面積，利用基本不等式求最大值，從而解決問題．

解答：解：（Ⅰ）∵點A（1，

3

）在橢圓

x2

2

+

y2

n

=1上，
代入橢圓方程得

1

2

+

3

n

=1⇒n =6，
∴橢圓方程為

x2

2

+

y2

6

=1．即3x²+y²-6=0，
設(shè)直線l_AB：y=kx+

3

-k（k≠0）
與橢圓方程 3x²+y²-6=0聯(lián)立得到（3+k²）x²+2（

3

-k）kx+k²-2

3

k-3=0
設(shè)點B（x₁，y₁），而C（1，

3

），由韋達定理知 1•x1=

k 2-2 3 k-3

k2+3

⇒x1=

k 2-2 3 k-3

k2+3

代回l_AB：y=kx+

3

-k得到 y1=

- 3 k 2-6k+3 3

k2+3

∵直線AB、AC與x軸圍成底邊在x軸上的等腰三角形
∴直線AB、AC的斜率互為相反數(shù)，
故設(shè)點C（x₂，y₂），同理可知x1=

k2+2 3 k-3

k2+3

，y1=

- 3 k2+6k+3 3

k2+3

所以 直線BC的斜率k=

y1-y2

x1-x2

代入上述數(shù)據(jù)得：k=

3

直線BC的斜率為：

3

．
（II）∵根據(jù)（I）得直線BC的斜率為：

3

．
∴設(shè)直線BC的方程為：y=

3

x+m，
由

x2 2 + y2 6 =1 y= 3 x+m

得6x²+2

3

mx+m²-6=0，
根據(jù)弦長公式得|BC|=

1+k2

△

|a|

=

1+3 12(12-m2)

6

=

2 12-m2

3

，
又點A到直線BC的距離d=

|m|

1+3

=

|m|

2

，
∴△ABC的面積S=

1

2

|BC|d=

(12-m2)m2

2 3

≤

12-m2+m2

2 3

=

3

，
當(dāng)12-m²=m²時取等號，即m=±

6

．
∴當(dāng)點B、C在直線y=

3

x±

6

上時，△ABC的面積最大，面積最大值是

3

．

點評：本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題、橢圓方程的應(yīng)用、直線的方程、基本不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．