Question

如圖，正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱長為，以頂點A為球心，2半徑作一個球，則圖中球面與正方體的表面相交所得到的兩段弧長之和等于

    A．   B．     C．π    D．

 

Answer 1

【答案】

A

【解析】解：如圖，球面與正方體的六個面都相交，

所得的交線分為兩類：一類在頂點A所在的三個面上，即面AA₁B₁B、面ABCD和面AA₁D₁D上；

另一類在不過頂點A的三個面上，即面BB₁C₁C、面CC₁D₁D和面A₁B₁C₁D₁上．

在面AA₁B₁B上，交線為弧EF且在過球心A的大圓上，因為AE=2×  ，AA₁=1，

則∠A₁AE=π/6．同理∠BAF=π/ 6 ，所以∠EAF=π/ 6 ，

故弧EF的長為：2×  ×π /6 = π，

而這樣的弧共有三條．

在面BB₁C₁C上，交線為弧FG且在距球心為1的平面與球面相交所得的小圓上，

此時，小圓的圓心為B，半徑為，∠FBG=π/ 2 ，

所以弧FG的長為：×π/2 = π  ．

這樣的弧也有三條．于是，所得的曲線長為：

3× π+3× π  =π  ．

故答案為A