Question

如圖所示，過(guò)點(diǎn)P （0，-2）的直線l交拋物線y²=4x于A，B兩點(diǎn)，求以O(shè)A，OB為鄰邊的平行四邊形OAMB的頂點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析：設(shè)點(diǎn)M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據(jù)題意設(shè)直線l的方程，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理，利用平行四邊形OAMB中，AB的中點(diǎn)為OM的中點(diǎn)，即可得到結(jié)論．

解答：解：設(shè)點(diǎn)M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據(jù)題意設(shè)直線l的方程為y=kx-2（k≠0），
與拋物線方程聯(lián)立，整理可得k²x²-4（k+1）x+4=0
∵直線l與動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)A，B，
∴△=32k+16＞0，∴k＞-

1

2

又x₁+x₂=

4(k+1)

k2

，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）-4=

4

k

∵平行四邊形OAMB中，AB的中點(diǎn)為OM的中點(diǎn)
∴x₁+x₂=x=

4(k+1)

k2

，y₁+y₂=y=

4

k

消去k，可得（y+2）²=4（x+1）
∴k＞-

1

2

，y=

4

k

∴y＜-8或y＞0，
∴頂點(diǎn)M的軌跡方程為（y+2）²=4（x+1）（y＜-8或y＞0）

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，屬于中檔題．