Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx（ω＞0）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)公差為$\frac{π}{2}$的等差數(shù)列，把函數(shù)f（x）的圖象沿x軸向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，得到函數(shù)g（x）的圖象．關(guān)于函數(shù)g（x），下列說法正確的是（　�。�

• A． 在[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上是增函數(shù)
• B． 當(dāng)x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2}{3}$π]時(shí)，函數(shù)g（x）的值域是[-2，1]
• C． 函數(shù)g（x）是奇函數(shù)
• D． 其圖象關(guān)于直線x=-$\frac{π}{4}$對(duì)稱

Answer 1

分析 由f（x）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)公差為$\frac{π}{2}$的等差數(shù)列，得到$\frac{T}{2}=\frac{π}{2}$，從而求出T，進(jìn)一步得到ω，再由函數(shù)圖象的平移得到g（x），結(jié)合x的范圍得到g（x）的值域，說明B正確．

解答 解：由題意可知，$\frac{T}{2}=\frac{π}{2}$，∴T=π，則ω=2．
f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
把函數(shù)f（x）的圖象沿x軸向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，得f（x+$\frac{π}{6}$）=2sin[2（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2cos2x．
即g（x）=2cos2x．
當(dāng)x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2}{3}$π]時(shí)，2x∈[$\frac{π}{3}，\frac{4}{3}π$]，
∴2cos2x∈[-2，1]．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了三角函數(shù)圖象的平移，考查了等差數(shù)列概念的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．