Question

5．已知函數f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx（ω＞0）的圖象與x軸交點的橫坐標構成一個公差為$\frac{π}{2}$的等差數列，把函數f（x）的圖象沿x軸向左平移$\frac{π}{6}$個單位，得到函數g（x）的圖象．關于函數g（x），下列說法正確的是（　�。�

• A． 在[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上是增函數
• B． 當x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2}{3}$π]時，函數g（x）的值域是[-2，1]
• C． 函數g（x）是奇函數
• D． 其圖象關于直線x=-$\frac{π}{4}$對稱

Answer 1

分析 由f（x）的圖象與x軸交點的橫坐標構成一個公差為$\frac{π}{2}$的等差數列，得到$\frac{T}{2}=\frac{π}{2}$，從而求出T，進一步得到ω，再由函數圖象的平移得到g（x），結合x的范圍得到g（x）的值域，說明B正確．

解答 解：由題意可知，$\frac{T}{2}=\frac{π}{2}$，∴T=π，則ω=2．
f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
把函數f（x）的圖象沿x軸向左平移$\frac{π}{6}$個單位，得f（x+$\frac{π}{6}$）=2sin[2（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2cos2x．
即g（x）=2cos2x．
當x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2}{3}$π]時，2x∈[$\frac{π}{3}，\frac{4}{3}π$]，
∴2cos2x∈[-2，1]．
故選：B．

點評 本題考查三角函數的圖象和性質，考查了三角函數圖象的平移，考查了等差數列概念的應用，是基礎題．