Question

【題目】設(shè)f（x）= +5x+6在區(qū)間[1，3]上為單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A.[﹣ ，+∞）
B.（﹣∞，﹣3]
C.（﹣∞，﹣3]∪[﹣ ，+∞）
D.[﹣ ， ]

Answer 1

【答案】C
【解析】解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=x2+2ax+5，
①若函數(shù)在區(qū)間[1，3]上為單調(diào)增函數(shù)，則等價(jià)為f′（x）≥0恒成立，
即x2+2ax+5≥0，
即2ax≥﹣x2﹣5，
則2a≥ =﹣（x+ ），
∵x+ ，當(dāng)且僅當(dāng)x= ，即x= ∈[1，3]取等號(hào)，
∴﹣（x+ ）max=﹣2 ，
即2a≥﹣2 ，解得a≥﹣ ；
②若函數(shù)在區(qū)間[1，3]上為單調(diào)減函數(shù)，則等價(jià)為f′（x）≤0恒成立，
即x2+2ax+5≤0，
即2ax≤﹣x2﹣5，
則2a≤ =﹣（x+ ），
∵x+ ，當(dāng)且僅當(dāng)x= ，即x= ∈[1，3]取等號(hào)，
∴﹣（x+ ）max=﹣2 ，
當(dāng)x=1時(shí)，﹣（x+ ）=﹣6，
當(dāng)x=3時(shí)，﹣（x+ ）=﹣（3+ ）=﹣ ＞﹣6，
∴﹣（x+ ）min=﹣6，
即2a≤﹣6，解得a≤﹣3；
綜上a∈（﹣∞，﹣3]∪[﹣ ，+∞），
故選：C
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．