Question

如圖，直角三角形ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），直角頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為，頂點(diǎn)C在x軸上．求：
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)及△ABC的外接圓M的方程；
（2）設(shè)△ABC的外接圓M的圓心為點(diǎn)M，另有一個(gè)定點(diǎn)N（-3，-4），作出一個(gè)以MN為直徑，G為圓心的圓，記為圓G，圓M和圓G交于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，直線NP，NQ是圓M的切線嗎？請說明理由；
（3）求直線PQ的方程．

Answer 1

解：（1）由題意可知：，∴，
直線BC的方程為：，令y=0，則x=3，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），
∵△ABC為直角三角形，∴△ABC外接圓的圓心為線段AC的中點(diǎn)M（1，0），半徑為，
∴圓M的方程為：（x-1）²+y²=4；
（2）∵M(jìn)（1，0），N（-3，-4）
∴線段MN的中點(diǎn)為G（-1，-2），|MN|=4
∴圓G的方程為：（x+1）²+（y+2）²=8
∵M(jìn)N為圓G的直徑，P，Q為圓G上的點(diǎn)
∴PM⊥PN，QM⊥QN
∴直線NP，NQ是圓M的切線；
（3）∵圓M的方程為：（x-1）²+y²=4，圓G的方程為：（x+1）²+（y+2）²=8，
∴兩圓方程相減，可得直線PQ的方程為x+y=0．
分析：（1）求出直線BC的方程，可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)△ABC為直角三角形，確定△ABC的外接圓M的圓心與半徑，從而可求方程；
（2）求出圓G的方程，利用切線的定義，即可得到結(jié)論；
（3）兩圓方程相減，可得直線PQ的方程．
點(diǎn)評：本題考查圓的方程，考查直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．