Question

14．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，n=2k-1}\\{{a}_{k}，n=2k}\end{array}\right.$（k∈N^*），設(shè)f（n）=a₁+a₂+…+${a}_{{2}^{n}-1}$+${a}_{{2}^{n}}$，則f（2016）-f（2015）=4²⁰¹⁵．

Answer 1

分析 由遞推公式得到f（n）-f（n-1）=4^n-1，由此能求出f（2016）-f（2015）的值．

解答 解：∵a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，n=2k-1}\\{{a}_{k}，n=2k}\end{array}\right.$（k∈N^*），f（n）=a₁+a₂+…+${a}_{{2}^{n}-1}$+${a}_{{2}^{n}}$，
∴f（2）-f（1）=a₁+a₂+a₃+a₄-（a₁+a₂）=a₃+a₄=3+1=4，
f（3）-f（2）=a₅+a₆+a₇+a₈=5+3+7+1=4²
f（4）-f（3）=a₉+a₁₀+…+a₁₆=9+5+11+3+13+7+15+1=64=4³
…
∴f（n）-f（n-1）=4^n-1，
∴f（2016）-f（2015）=4²⁰¹⁵．
故答案為：4²⁰¹⁵．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)列的遞推公式和歸納總結(jié)的合理運(yùn)用．