【題目】如圖是一個“蝴蝶形圖案（陰影區(qū)域）”，其中是過拋物線的兩條互相垂直的弦（點在第二象限），且交于點，點為軸上一點，，其中為銳角

（1）設線段的長為，將表示為關于的函數(shù)

（2）求“蝴蝶形圖案”面積的最小值，并指出取最小值時的大小

【答案】（1）（2）“蝴蝶形圖案”面積的最小值為,取最小值時.

【解析】

（1）過點作軸于點,,在中利用三角函數(shù)的定義可得,,即點的坐標為,代入拋物線的方程,可得關于的函數(shù).

（2）由題意結合圖形,可由逆時針旋轉得到,即可得到關于的函數(shù),進而可得“蝴蝶形圖案”面積關于的函數(shù),換元后利用配方法求其面積的最小值.

（1）過點作軸于點,

在中,

即:，

由此可得點的坐標為

點是拋物線上的點,將其代入可得:

,即:

解得:

故:

表示為關于的函數(shù)為:

（2）根據(jù)（1）得: 表示為關于的函數(shù)為:

由題意可知:

可由逆時針旋轉得到,其與正半軸夾角為.

可由逆時針旋轉得到,其與正半軸夾角為.

可由逆時針旋轉得到,其與正半軸夾角為.

, ,

設“蝴蝶形圖案”面積為:

令:

為銳角

則 可得:

則,

故時, 即:

化簡為: (為銳角)解得:

綜上所述:“蝴蝶形圖案”面積的最小值為,取最小值時.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點為，為軸上的點.

（1）當時，過點作直線與相切，求切線的方程；

（2）存在過點且傾斜角互補的兩條直線，，若，與分別交于，和，四點，且與的面積相等，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某民營企業(yè)生產A，B兩種產品，根據(jù)市場調查與預測，A產品的利潤y與投資x成正比，其關系如圖甲，B產品的利潤y與投資x的算術平方根成正比，其關系如圖乙注：利潤與投資單位為萬元

分別將A，B兩種產品的利潤y表示為投資x的函數(shù)關系式；

該企業(yè)已籌集到10萬元資金，并全部投入A，B兩種產品的生產問：怎樣分配這10萬元資金，才能使企業(yè)獲得最大利潤，最大利潤是多少萬元？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】據(jù)氣象中心觀察和預測：發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動，其移動速度v(km/h)與時間t(h)的函數(shù)圖象如圖所示，過線段OC上一點作橫軸的垂線l，梯形OABC在直線l左側部分的面積即為t(h)內沙塵暴所經過的路程s(km)．

(1)當時，求s的值；

(2)將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學關系式表示出來；

(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650km，試判斷這場沙塵暴是否會侵襲到N城，如果會，在沙塵暴發(fā)生后多長時間它將侵襲到N城？如果不會，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在下列各題中,判斷p是q的什么條件(請用“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分又不必要條件”回答):

(1)p:三角形是等腰三角形,q:三角形是等邊三角形;

(2)在一元二次方程中，有實數(shù)根，;

(3);

(4);

(5).

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】判斷下列全稱量詞命題的真假:

(1)每一個末位是0的整數(shù)都是5的倍數(shù);

(2)線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等;

(3)對任意負數(shù)的平方是正數(shù);

(4)梯形的對角線相等

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下列命題中：

①若函數(shù)的定義域為，則一定是偶函數(shù)；

②若是定義域上奇函數(shù)，，都有，則的圖像關于直線對稱；

③已知，是函數(shù)的定義域內的任意兩個值，且，若，則是定義域減函數(shù)；

④已知是定義在上奇函數(shù)，且也為奇函數(shù)，則是以4為周期的周期函數(shù)。

其中真命題的有_____________

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】判斷下列命題的真假,并寫出這些命題的否定:

(1)平面直角坐標系下每條直線都與x軸相交;

(2)每個二次函數(shù)的圖象都是軸對稱圖形;

(3)存在一個三角形,它的內角和小于180°;

(4)存在一個四邊形,它的四個頂點不在同一個圓上.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知， ， .

（1）若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若，“”為真命題，“”為假命題，求實數(shù)的取值范圍.

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