(1)已知函數(shù)f(x)=-x2+4(x∈(-1,2)),P、Q是f(x)圖象上的任意兩點(diǎn).
①試求直線PQ的斜率kPQ的取值范圍;
②求f(x)圖象上任一點(diǎn)切線的斜率k的范圍;
(2)由(1)你能得出什么結(jié)論?(只須寫出結(jié)論,不必證明),試運(yùn)用這個(gè)結(jié)論解答下面的問題:已知集合MD是滿足下列性質(zhì)函數(shù)f(x)的全體:若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,對(duì)任意的x1,x2∈D,(x1≠x2)有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|.
①當(dāng)D=(0,1)時(shí),f(x)=lnx是否屬于MD,若屬于MD,給予證明,否則說明理由;
②當(dāng)D=(0,
3
3
)
,函數(shù)f(x)=x3+ax+b時(shí),若f(x)∈MD,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析:(1)①設(shè)P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2))由斜率公式用兩點(diǎn)坐標(biāo)表示出,再根據(jù)定義域求范圍.
②求出導(dǎo)函數(shù)的值域,即為割線的斜率的取值范圍.
(2)得出結(jié)論,函數(shù)y=f(x)圖象上任意兩點(diǎn)P、Q連線的斜率k=
y1-y2
x1-x2
(x1x2)
的取值范圍,
就是曲線上任一點(diǎn)切線的斜率(如果有的話)的范圍;對(duì)于①解出導(dǎo)函數(shù),當(dāng)x∈(0,1),導(dǎo)數(shù)大于1,由(1)的結(jié)論|
f(x1)-f(x2)
x1-x2
|>1
,這與|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|矛盾,f(x)=lnx∉MD.對(duì)于②解出導(dǎo)函數(shù)由定義域知a<f′(x)<1+a.若f(x)∈MD,則可根據(jù)定義得出關(guān)于a的不等式組,解之,有解既得實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解答:解:(1)=1 ①設(shè)P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2))是f(x)圖象上的任意兩點(diǎn)(x1≠x2),則kPQ=
f(x2)-f(x1)
x2-x1
=
(-x22+4)-(-x12+4)
x2-x1
=-(x2+x1)

由x1,x2∈(-1,2),知-(x1+x2)∈(-4,2),
∴直線PQ的斜率kPQ的取值范圍是(-4,2);
②由f′(x)=-2x,x∈(-1,2),得f′(x)∈(-4,2),
∴f(x)圖象上任一點(diǎn)切線的斜率k的范圍是(-4,2);
(2)由(1)得:函數(shù)y=f(x)圖象上任意兩點(diǎn)P、Q連線的斜率k=
y1-y2
x1-x2
(x1x2)
的取值范圍,
就是曲線上任一點(diǎn)切線的斜率(如果有的話)的范圍(其實(shí)由導(dǎo)數(shù)的定義可得).
①∵f′(x)=
1
x
,∴若x∈(0,1),f′(x)>1?|f′(x)|>1,
|
f(x1)-f(x2)
x1-x2
|>1
,當(dāng)x1,x2∈(0,1)時(shí),f(x)=lnx∉MD
②由f(x)=x3+ax+b?f′(x)=3x2+a,當(dāng)x∈(0,
3
3
)
時(shí),
a<f′(x)<1+a.∵f(x)∈MD
|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|,即|
f(x1)-f(x2)
x1-x2
|<1
,
a≥-1
1+a≤1
,得-1≤a≤0.
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1,0].
點(diǎn)評(píng):考查函數(shù)圖象上兩點(diǎn)連線的斜率與函數(shù)在這一段上的導(dǎo)數(shù)的值域的關(guān)系,對(duì)于第(II)問,其中①判斷該函數(shù)是否符合定義,其②是根據(jù)函數(shù)符合定義轉(zhuǎn)化成不等式組求參數(shù).請(qǐng)讀者認(rèn)真體會(huì)這兩個(gè)題型的同同.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知函數(shù)f(x)=lg(1+x)+lg(1-x).①求函數(shù)f(x)的定義域.②判斷函數(shù)的奇偶性,并給予證明.
(2)已知函數(shù)f(x)=ax+3,(a>0且a≠1),求函數(shù)f(x)在[0,2]上的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知函數(shù)f(x)=
x+3(x≤0)
2x(x>0)
,則f(f(-2))為
2
2
;
(2)不等式f(x)>2的解集是
(-1,0]∪(1,+∞)
(-1,0]∪(1,+∞)
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻锝夊箣閿濆憛鎾绘煕閵堝懎顏柡灞剧洴楠炴﹢鎳犻澶嬓滈梻浣规偠閸斿秶鎹㈤崘顔嘉﹂柛鏇ㄥ灠閸愨偓濡炪倖鍔﹀鈧紒顔煎缁辨挻鎷呴幓鎺嶅濠电姰鍨煎▔娑㈩敄閸曨厽宕查柛鈩冪⊕閻撳繘鏌涢锝囩畺闁革絾妞介弻娑㈡晲閸涱喛纭€缂備浇椴哥敮锟犲箖閳哄懏顥堟繛鎴炲笚閻庝即姊绘担鍛婃儓闁活剙銈稿畷浼村冀椤撶姴绁﹂梺纭呮彧缁犳垹绮诲☉銏♀拻闁割偆鍠撻埊鏇熴亜閺傚灝顏慨濠勭帛閹峰懘宕ㄦ繝鍌涙畼濠电儑绲藉ú锕€顪冩禒瀣櫜闁绘劖娼欑欢鐐烘煙闁箑鍔﹂柨鏇炲€归悡鏇㈡煛閸ャ儱濡奸柣蹇曞У娣囧﹪顢曢敐蹇氣偓鍧楁煛鐏炲墽娲撮柍銉畵楠炲鈹戦崶鈺€澹曠紓鍌氬€风粈渚€顢栭崨顖涘床闁圭増婢橀悡姗€鏌熸潏楣冩闁稿﹦鍏橀弻銈囧枈閸楃偛顫梺鍛婃煥閹诧紕鎹㈠☉姘e亾濞戞瑡缂氶柣顓滃€曢湁婵犲﹤绨肩花缁樸亜閺囶亞绋荤紒缁樼箓椤繈顢橀悢鍓蹭户闂傚倷鑳剁划顖涚仚闁诲繐绻戦悷鈺佺暦閹扮増鍊烽柣鎴炃氶幏娲煟鎼粹剝璐″┑顔炬暬婵℃挳宕橀埡鈧换鍡涙煟閹邦厽缍戞繛鎼枟椤ㄣ儵鎮欏顔煎壉濡炪倧濡囨晶妤呭箚閺冨牊鏅查柛銉╊棑鎼村﹪姊婚崒娆掑厡缂侇噮鍨跺畷婵嬫晝閸屾氨顦┑鐐叉閹稿摜绮堟径鎰厪闁割偅绻冮ˉ鎾趁瑰⿰鍕煁闁靛洤瀚伴獮妯兼崉閻╂帇鍨介弻娑樜熼搹瑙勬喖濡炪們鍔婇崕鐢稿箖濞嗘挸绠甸柟鐑樻尰椤斿嫰姊洪崜褏甯涢柣妤冨█瀵鈽夊Ο閿嬵潔闂佸憡顨堥崑鐐烘倶閸喓绠鹃悗鐢登归宀勬煕濞嗗繐鏆欐い顐㈢箻閹煎綊宕烽鐙呯床婵犳鍠楅〃鍛涘▎鎾村仼闁割偅娲橀埛鎴犵磽娴g櫢渚涙繛鍫熸閺屻劑寮撮妸銈夊仐闂佺粯渚楅崰娑氱不濞戞ǚ妲堟繛鍡樺灥婵悂鏌f惔锛勭暛闁稿骸宕灋鐎光偓閸曨偆顔嗗┑鐐叉▕娴滄繈鍩涢幋锔界厱婵炴垶锕崝鐔虹磼閻樿櫕宕岄柟顔筋殔椤繈鎮℃惔锛勭潉闂備浇妗ㄧ粈浣虹矓閻熼偊鍤曟い鏇楀亾鐎规洘甯掗オ浼村椽閸愵亜绨ラ梻鍌氬€风粈渚€骞栭銈嗗仏妞ゆ劧绠戠壕鍧楁煙閹澘袚闁稿鏅滅换娑橆啅椤旇崵鍑归梺缁樻尰缁嬫垿婀侀梺鎸庣箓閹冲繘骞夐幖浣告瀬闁割偅鎯婇弮鍫熷亹闂傚牊绋愮划璺衡攽閻愬弶鈻曢柛娆忓暣婵″瓨绗熼埀顒€顕f禒瀣垫晣闁绘劙娼ч獮鎰版⒒娴e憡鍟為柛鏃€鍨垮畷婵嗩吋婢跺鈧爼鏌涢鐘插姕闁稿﹦鏁婚幃宄扳枎韫囨搩浠剧紓浣插亾闁告劏鏂傛禍婊堟煏婵炲灝鍔甸棅顒夊墯椤ㄣ儵鎮欑拠褑鍚悗娈垮枙缁瑩銆佸鈧幃娆撴濞戞ḿ顔囬梻鍌氬€风粈渚€骞夐敓鐘茬闁硅揪绠戠粈澶愬箹濞n剙濡肩痪鎯х秺閺屻劑鎮ら崒娑橆伓

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2006•浦東新區(qū)模擬)(1)已知函數(shù)f(x)=ax-x(a>1).
①若f(3)<0,試求a的取值范圍;
②寫出一組數(shù)a,x0(x0≠3,保留4位有效數(shù)字),使得f(x0)<0成立;
(2)若曲線y=x+
p
x
(p≠0)上存在兩個(gè)不同點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱,求實(shí)數(shù)p的取值范圍;
(3)當(dāng)0<a<1時(shí),就函數(shù)y=ax與y=logax的圖象的交點(diǎn)情況提出你的問題,并加以解決.(說明:①函數(shù)f(x)=xlnx有如下性質(zhì):在區(qū)間(0,
1
e
]
上單調(diào)遞減,在區(qū)間[
1
e
,1)
上單調(diào)遞增.解題過程中可以利用;②將根據(jù)提出和解決問題的不同層次區(qū)別給分.)
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻锝夊箣閿濆憛鎾绘煕閵堝懎顏柡灞剧洴楠炴﹢鎳犻澶嬓滈梻浣规偠閸斿秶鎹㈤崘顔嘉﹂柛鏇ㄥ灠閸愨偓濡炪倖鍔﹀鈧紒顔煎缁辨挻鎷呴幓鎺嶅濠电姰鍨煎▔娑㈩敄閸曨厽宕查柛鈩冪⊕閻撳繘鏌涢锝囩畺闁革絾妞介弻娑㈡晲閸涱喛纭€缂備浇椴哥敮锟犲箖閳哄懏顥堟繛鎴炲笚閻庝即姊绘担鍛婃儓闁活剙銈稿畷浼村冀椤撶姴绁﹂梺纭呮彧缁犳垹绮诲☉銏♀拻闁割偆鍠撻埊鏇熴亜閺傚灝顏慨濠勭帛閹峰懘宕ㄦ繝鍌涙畼濠电儑绲藉ú锕€顪冩禒瀣櫜闁绘劖娼欑欢鐐烘煙闁箑鍔﹂柨鏇炲€归悡鏇㈡煛閸ャ儱濡奸柣蹇曞У娣囧﹪顢曢敐蹇氣偓鍧楁煛鐏炲墽娲撮柍銉畵楠炲鈹戦崶鈺€澹曠紓鍌氬€风粈渚€顢栭崨顖涘床闁圭増婢橀悡姗€鏌熸潏楣冩闁稿﹦鍏橀弻銈囧枈閸楃偛顫梺鍛婃煥閹诧紕鎹㈠☉姘e亾濞戞瑡缂氶柣顓滃€曢湁婵犲﹤绨肩花缁樸亜閺囶亞绋荤紒缁樼箓椤繈顢橀悢鍓蹭户闂傚倷鑳剁划顖涚仚闁诲繐绻戦悷鈺佺暦閹扮増鍊烽柣鎴炃氶幏娲煟鎼粹剝璐″┑顔炬暬婵℃挳宕橀埡鈧换鍡涙煟閹邦厽缍戞繛鎼枟椤ㄣ儵鎮欏顔煎壉濡炪倧濡囨晶妤呭箚閺冨牊鏅查柛銉╊棑鎼村﹪姊婚崒娆掑厡缂侇噮鍨跺畷婵嬫晝閸屾氨顦┑鐐叉閹稿摜绮堟径鎰厪闁割偅绻冮ˉ鎾趁瑰⿰鍕煁闁靛洤瀚伴獮妯兼崉閻╂帇鍨介弻娑樜熼搹瑙勬喖濡炪們鍔婇崕鐢稿箖濞嗘挸绠甸柟鐑樻尰椤斿嫰姊洪崜褏甯涢柣妤冨█瀵鈽夊Ο閿嬵潔闂佸憡顨堥崑鐐烘倶閸喓绠鹃悗鐢登归宀勬煕濞嗗繐鏆欐い顐㈢箻閹煎綊宕烽鐙呯床婵犳鍠楅〃鍛涘▎鎾村仼闁割偅娲橀埛鎴犵磽娴g櫢渚涙繛鍫熸閺屻劑寮撮妸銈夊仐闂佺粯渚楅崰娑氱不濞戞ǚ妲堟繛鍡樺灥婵悂鏌f惔锛勭暛闁稿骸宕灋鐎光偓閸曨偆顔嗗┑鐐叉▕娴滄繈鍩涢幋锔界厱婵炴垶锕崝鐔虹磼閻樿櫕宕岄柟顔筋殔椤繈鎮℃惔锛勭潉闂備浇妗ㄧ粈浣虹矓閻熼偊鍤曟い鏇楀亾鐎规洘甯掗オ浼村椽閸愵亜绨ラ梻鍌氬€风粈渚€骞栭銈嗗仏妞ゆ劧绠戠壕鍧楁煙閹澘袚闁稿鏅滅换娑橆啅椤旇崵鍑归梺缁樻尰缁嬫垿婀侀梺鎸庣箓閹冲繘骞夐幖浣告瀬闁割偅鎯婇弮鍫熷亹闂傚牊绋愮划璺衡攽閻愬弶鈻曢柛娆忓暣婵″瓨绗熼埀顒€顕f禒瀣垫晣闁绘劙娼ч獮鎰版⒒娴e憡鍟為柛鏃€鍨垮畷婵嗩吋婢跺鈧爼鏌涢鐘插姕闁稿﹦鏁婚幃宄扳枎韫囨搩浠剧紓浣插亾闁告劏鏂傛禍婊堟煏婵炲灝鍔甸棅顒夊墯椤ㄣ儵鎮欑拠褑鍚悗娈垮枙缁瑩銆佸鈧幃娆撴濞戞ḿ顔囬梻鍌氬€风粈渚€骞夐敓鐘茬闁硅揪绠戠粈澶愬箹濞n剙濡肩痪鎯х秺閺屻劑鎮ら崒娑橆伓

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

給出下列四個(gè)命題:
(1)已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2   x≤2
log2(x+a)  x>2
在定義域內(nèi)是連續(xù)函數(shù),數(shù)列{an}通項(xiàng)公式為an=
1
an
,則數(shù)列{an}的所有項(xiàng)之和為1.
(2)過點(diǎn)P(3,3)與曲線(x-2)2-
(y-1)2
4
=1有唯一公共點(diǎn)的直線有且只有兩條.
(3)向量
a
=(x2,x+1)
,
b
=(1-x,t)
,若函數(shù)f(x)=
a
b
在區(qū)間[-1,1]上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)t的取值范圍是(5,+∞);
(4)我們定義非空集合A的真子集的真子集為A的“孫集”,則集合{2,4,6,8,10}的“孫集”有26個(gè).
其中正確的命題有
(1)(2)(4)
(1)(2)(4)
(填序號(hào))
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