Question

18．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$，g（x）=a-2x
（1）若函數(shù)y=f（x）在[2，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若不等式f（x）≥g（x）在[1，+∞）上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義和性質(zhì)進行求解即可．
（2）將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題即可．

解答 解：（1）任取x₁，x₂∈[2，+∞），設(shè)x₁＞x₂
則$f（{x_1}）-f（{x_2}）=（{x_1}+\frac{a}{x_1}）-（{x_2}+\frac{a}{x_2}）=（{x_1}-{x_2}）+\frac{{a（{x_2}-{x_1}）}}{{{x_1}{x_2}}}$
=$（{x_1}-{x_2}）•\frac{{{x_1}{x_2}-a}}{{{x_1}{x_2}}}$（4分）
∵x₁＞x₂≥2，∴x₁-x₂＞0，x₁x₂＞4，
又∵f（x₁）＞f（x₂），即：f（x₁）-f（x₂）＞0
∴$\frac{{{x_1}{x_2}-a}}{{{x_1}{x_2}}}＞0$（6分）
所以，a≤4（8分）
（2）不等式f（x）≥g（x）就是：$x+\frac{a}{x}≥a-2x$，即：$3x+\frac{a}{x}≥a$
由于x∈[1，+∞），等價于3x²-ax+a≥0在[1，+∞）上恒成立（9分）
①當$\frac{a}{6}≤1$時，g（x）=3x²-ax+a在[1，+∞）是增函數(shù)，則g（1）≥0，
這顯然成立（12分）
②當$\frac{a}{6}≥1$時，g（x）=3x²-ax+a在$[1，\;\frac{a}{6}]$是減函數(shù)，在$[\frac{a}{6}，+∞）$上增函數(shù)，
則$g（\frac{a}{6}）≥0$，解得6≤a≤12（15分）
綜上，所求實數(shù)a的取值范圍是a≤12（16分）

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用以及不等式恒成立問題，利用轉(zhuǎn)化法求出函數(shù)最值是解決本題的關(guān)鍵．