Question

14．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知2S_n=3ⁿ-1
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₃a_n²+a_2n，求{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）當n≥2時利用a_n=S_n-S_n-1計算即得結(jié)論；
（2）通過（1）可知b_n=2（n-1）+$\frac{1}{3}$•9ⁿ，進而利用等差、等比數(shù)列的求和公式計算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵2S_n=3ⁿ-1，
∴當n≥2時，2a_n=2S_n-2S_n-1=（3ⁿ-1）-（3^n-1-1），
整理得：a_n=3^n-1（n≥2），
又∵2S₁=3¹-1即a₁=1滿足上式，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=3^n-1；
（2）由（1）可知：b_n=log₃a_n²+a_2n=2（n-1）+3^2n-1=2（n-1）+$\frac{1}{3}$•9ⁿ，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=2•$\frac{（n-1）（1+n-1）}{2}$+$\frac{1}{3}$•$\frac{9（1-{9}^{n}）}{1-9}$=n（n-1）+$\frac{3}{8}$•（9ⁿ-1）．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，涉及對數(shù)的運算性質(zhì)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．