【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且．

(1)求橢圓C的方程．

(2)不經(jīng)過點(diǎn)的直線被圓截得的弦長與橢圓C的長軸長相等，且直線與橢圓C交于D，E兩點(diǎn)，試判斷的周長是否為定值?若是，求出定值；若不是，請說明理由．

【答案】（1）（2）的周長為定值為，詳見解析

【解析】

（1）根據(jù)已知條件求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由和離心率為建立關(guān)于a,b,c的方程，從而得橢圓的方程；

（2）根據(jù)直線被圓所截得的弦長等于橢圓的長軸長得出k,m的關(guān)系，再將直線與橢圓的方程聯(lián)立消去y，得到交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的韋達(dá)定理表達(dá)式，分別求出，得出的周長為定值，得解.

（1）因?yàn)?/span>，所以，則即，所以橢圓C的方程可化為，

由得不妨令

易知則

因?yàn)?/span>，所以,即，

又，所以

所以橢圓C的方程為

（2）由（1）知橢圓C的長軸長為，因?yàn)橹本�被圓截得的弦長與橢圓C的長軸長相等，所以圓的圓心O（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）到直線l的距離，所以，即

設(shè)，聯(lián)立方程，得整理得

所以，又，

所以

又

所以，

所以的周長是.

所以的周長為定值，為.

得解.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上一點(diǎn)，且.

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)的動直線交拋物線于兩點(diǎn)，拋物線上是否存在一個定點(diǎn)，使得以弦為直徑的圓恒過點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

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【題目】已知函數(shù).

(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

(2)證明：在區(qū)間上有且僅有個零點(diǎn).

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【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，圓：過橢圓的三個頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線（斜率存在且不為0）與橢圓交于兩點(diǎn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

（2）證明：在軸上存在定點(diǎn)，使得為定值，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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【題目】已知某個機(jī)械零件是由兩個有公共底面的圓錐組成的，且這兩個圓錐有公共點(diǎn)的母線互相垂直，把這個機(jī)械零件打磨成球形，該球的半徑最大為1，設(shè)這兩個圓錐的高分別為，則的最小值為__________．

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【題目】已知橢圓的離心率，一個長軸頂點(diǎn)在直線上，若直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率為，直線的斜率為.

（1）求該橢圓的方程.

（2）若，試問的面積是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知是橢圓與拋物線的一個公共點(diǎn)，且橢圓與拋物線具有一個相同的焦點(diǎn)．

（1）求橢圓及拋物線的方程；

（2）設(shè)過且互相垂直的兩動直線，與橢圓交于兩點(diǎn)，與拋物線交于兩點(diǎn)，求四邊形面積的最小值

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【題目】已知， 為兩條不同的直線， ， 為兩個不同的平面，對于下列四個命題：

①， ， ， ②，

③， ， ④，

其中正確命題的個數(shù)有（ ）

A. 個 B. 個 C. 個 D. 個

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【題目】已知圓.

（1）求過點(diǎn)的圓的切線方程；

（2）若直線過點(diǎn)且被圓C截得的弦長為，求的范圍.

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