【題目】橢圓的右焦點為,且短軸長為,離心率為.

1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)設(shè)點為橢圓軸正半軸的交點,是否存在直線,使得交橢圓兩點,且恰是的垂心?若存在,求的方程;若不存在,說明理由.

【答案】1;(2)存在,.

【解析】

(1)根據(jù)短軸長和離心率可求,從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)假設(shè)存在直線,則其斜率為,設(shè)的方程為,,由為垂心可得,聯(lián)立直線方程和橢圓方程,消去后利用韋達定理可得關(guān)于的方程,解該方程后可得所求的直線方程.

(1)設(shè)橢圓的方程為,則由題意知,所以.

,解得,所以橢圓的方程為.

(2)由(1)知,的方程為,所以,

所以直線的斜率,假設(shè)存在直線,使得的垂心,則.

設(shè)的斜率為,則,所以.

設(shè)的方程為,.

,得,

,得

.

因為,所以,因為,

所以,

整理得,

所以

整理得,解得

當(dāng)時,直線過點,不能構(gòu)成三角形,舍去;

當(dāng)時,滿足

所以存在直線,使得的垂心,的方程為.

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知以M為圓心的圓M: 及其上一點A24

1)設(shè)圓Nx軸相切,與圓M外切,且圓心N在直線x=6上,求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B、C兩點,且BC=OA,求直線l的方程;

3)設(shè)點Tt,o)滿足:存在圓M上的兩點PQ,使得,求實數(shù)t的取值范圍。

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【題目】如圖1,在直角梯形ABCD中,ADBC,ABBCBDDC,點EBC邊的中點,將△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,連接AE,AC,DE,得到如圖2所示的幾何體.

(Ⅰ)求證:AB⊥平面ADC

(Ⅱ)若AD=2,直線CA與平面ABD所成角的正弦值為,求二面角EADC的余弦值.

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【題目】如圖,在多面體中,底面為矩形,側(cè)面為梯形,,.

1)求證:;

2)求證:平面.

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【題目】如圖,四棱錐,,,為等邊三角形,平面平面,中點.

(1)求證:平面

(2)求二面角的余弦值.

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【題目】某數(shù)學(xué)小組到進行社會實踐調(diào)查,了解到某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤目標(biāo),準(zhǔn)備制定激勵銷售人員的獎勵方案:在銷售利潤超過10萬元時,按銷售利潤進行獎勵,且獎金y(單位:萬元)隨銷售利潤x(單位:萬元)的增加而增加,但獎金總數(shù)不超過5萬元,同時獎金不超過利潤的25%.同學(xué)們利用函數(shù)知識,設(shè)計了如下的函數(shù)模型,其中符合公司要求的是(參考數(shù)據(jù):,( )

A.B.C.D.

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【題目】設(shè)函數(shù),函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).

1)若,都有成立(其中),求的值;

2)證明:當(dāng)時,;

3)設(shè)當(dāng)時,恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以為極點,軸的非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,直線的參數(shù)方程為為參數(shù),直線與曲線分別交于兩點.

(1)若點的極坐標(biāo)為,求的值;

(2)求曲線的內(nèi)接矩形周長的最大值.

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