【題目】已知圓C過點M(0,-2)、N(3,1),且圓心C在直線x+2y+1=0上.
(1)求圓C的方程;
(2)設(shè)直線ax-y+1=0與圓C交于A,B兩點,是否存在實數(shù)a,使得過點P(2,0)的直線l垂直平分弦AB?若存在,求出實數(shù)a的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)x2+y2-6x+4y+4=0(2)不存在實數(shù)
【解析】此題考查了利用待定系數(shù)法求圓的一般式方程,垂直平分線的性質(zhì)及方程與函數(shù)的綜合.此題第二問利用的方法是反證法,此方法的步驟為:先否定結(jié)論,然后利用正確的推理得出與已知,定理及公理矛盾,得到假設(shè)錯誤,故原結(jié)論成立
(1)設(shè)出圓的一般式方程,表示出圓心坐標(biāo),把圓心坐標(biāo)代入到直線x+2y+1=0中得到一個關(guān)于D,E及F的方程,然后把M與N的坐標(biāo)代入所設(shè)的圓的方程,得到兩個關(guān)于E,F及D的方程,三個方程聯(lián)立即可求出D,E及F的值,確定出圓C的方程;
(2)利用反證法,先假設(shè)滿足題意得點存在,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到圓心C必然在直線l上,由點C與點P的坐標(biāo)求出直線PC的斜率,根據(jù)兩直線垂直時斜率的乘積為-1,求出直線AB的斜率,進而求出實數(shù)a的值,然后由已知直線ax-y+1=0,變形得到y=ax+1,代入(1)中求出的圓C的方程,消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,根據(jù)直線與圓有兩個交點,得到根的判別式大于0,即可求出a的取值范圍,發(fā)現(xiàn)求出的a的值不在此范圍中,故假設(shè)錯誤,則不存在實數(shù)a,使得過點P(2,0)的直線l垂直平分弦AB.
解:(1)設(shè)圓C的方程為:x2+y2+Dx+Ey+F=0
則有…………………2分
解得
∴圓C的方程為:x2+y2-6x+4y+4=0 …………4分
(2)設(shè)符合條件的實數(shù)存在,
由于l垂直平分弦,故圓心必在l上.
所以l的斜率,
而, 所以. …………5分
把直線ax-y+1="0" 即y="ax" +1.代入圓的方程,
消去,整理得.
由于直線交圓于兩點,
故,
即,解得.
則實數(shù)的取值范圍是.…………………7分
由于,
故不存在實數(shù),使得過點的直線l垂直平分弦.………8分
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【題目】已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x∈(0,+∞)時,f(x)=2018x+log2018x,則函數(shù)f(x)的零點個數(shù)是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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【題目】已知圓:,直線: .
(1)設(shè)點是直線上的一動點,過點作圓的兩條切線,切點分別為,求四邊形的面積的最小值;
(2)過作直線的垂線交圓于點, 為關(guān)于軸的對稱點,若是圓上異于的兩個不同點,且滿足: ,試證明直線的斜率為定值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=(2x+b)ex , F(x)=bx﹣lnx,b∈R.
(1)若b<0,且存在區(qū)間M,使f(x)和F(x)在區(qū)間M上具有相同的單調(diào)性,求b的取值范圍;
(2)若F(x+1)>b對任意x∈(0,+∞)恒成立,求b的取值范圍.
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【題目】已知,函數(shù).
(1)當(dāng)時,證明是奇函數(shù);
(2)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)當(dāng)時,求函數(shù)在上的最小值.
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【題目】下列關(guān)于回歸分析的說法中錯誤的是( )
A.回歸直線一定過樣本中心( )
B.殘差圖中殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中,說明選用的模型比較合適
C.兩個模型中殘差平方和越小的模型擬合的效果越好
D.甲、乙兩個模型的R2分別約為0.98和0.80,則模型乙的擬合效果更好
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