Question

已知動圓過定點M（0，1），且與直線L：y=-1相切．．
（1）求動圓圓心C的軌跡的方程；
（2）設(shè)A、B是軌跡C上異于原點O的兩個不同點，直線OA和OB的傾斜角分別
為α和β，當α，β變化且α+β=θ(0＜θ＜π且θ≠

π

2

)為定值時，證明：直線AB恒過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

（1）由拋物線定義知C的軌跡是拋物線，且p=2，
∴動圓圓心C的軌跡方程：x²=4y（6分）
（2）設(shè)點A(x1，

x12

4

)，B(x2，

x 22

4

)
則直線AB的方程為：y-

x 21

4

=

x 22 4 - x 21 4

x2-x1

(x-x1)，
化簡得：y=

x2+x1

4

x-

x1x2

4

（9分）
又因為tanα=

x 21 4

x1

=

x1

4

，tanβ=

x 22 4

x2

=

x2

4

由α+β=θ，得tanθ=tan(α+β)=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

x1+x2 4

1- x1x2 16

則tanθ=

x1+x2 4

1- x1x2 16

，
所以

x1x2

4

=4-

x1+x2

tanθ

（12分）
所以直線AB方程為y=

x2+x1

4

x-4+

x1x2

tanθ

即y=

x2+x1

4

(x+

4

tanθ

)-4
所以直線AB過定點(-

4

tanθ

，-4)．（15分）