Question

11．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前2015項(xiàng)和T₂₀₁₅．

Answer 1

分析 （1）由S_n=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n，可得當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1即可得出．
（2）b_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，利“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n，
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n-$[\frac{1}{2}（n-1）^{2}+\frac{1}{2}（n-1）]$=n，
當(dāng)n=1時(shí)上式也滿足，
∴a_n=n．
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴數(shù)列{b_n}的前2015項(xiàng)和T₂₀₁₅=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{2015}-\frac{1}{2016}）$=1-$\frac{1}{2016}$=$\frac{2015}{2016}$．

點(diǎn)評 本題考查了“裂項(xiàng)求和”方法、遞推式的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．