Question

12．在△ABC中，已知a=6，且滿足（2b+c）cosA+acosC=0．
（1）求A及△ABC外接圓半徑R；
（2）設(shè)B=θ，求△ABC的周長L最大值，并指明取到最大值時(shí)θ的取值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化簡可得2sinBcosA=sinB，求得cosA=-$\frac{1}{2}$，進(jìn)而可求得A=$\frac{π}{3}$，由正弦定理可得R的值．
（2）由正弦定理及三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求L=6+4$\sqrt{3}$sin（θ+$\frac{π}{3}$），由0＜θ＜$\frac{π}{3}$，可得$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜sin（θ+$\frac{π}{3}$）≤1，當(dāng)$θ=\frac{π}{6}$時(shí)取等號(hào)，從而可求△ABC的周長L最大值．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）由正弦定理得（2sinB+sinC）cosA+sinAcosC=0． …（2分）
所以2sinBcosA+sinB=0，sinB≠0，
所以cosA=-$\frac{1}{2}$，…（4分）
因?yàn)?°＜A＜180°，所以A=$\frac{2π}{3}$．                     …（5分）
所以，由正弦定理可得：R=$\frac{a}{2sinA}$=$\frac{6}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2$\sqrt{3}$…（6分）
（不給A的范圍扣1分）
（2）因?yàn)橛烧�弦定理�?$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R=4\sqrt{3}$，
所以由（1）及已知可得：L=a+b+c=6+b+c=6+4$\sqrt{3}$（sinθ+sin（$\frac{π}{3}$-θ））=6+4$\sqrt{3}$sin（θ+$\frac{π}{3}$），
因?yàn)椋?＜θ＜$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$＜θ+$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，
所以：$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜sin（θ+$\frac{π}{3}$）≤1，當(dāng)$θ=\frac{π}{6}$時(shí)取等號(hào)，
所以L_max=6+4$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$）=6+4$\sqrt{3}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考察了正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用，考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．