m
=(sinωx+cosωx,
3
cosωx)(ω>0),
n
=(cosωx-sinωx,2sinωx),函數(shù)f(x)=
m
n
+t,若f(x)圖象上相鄰兩個(gè)對(duì)稱軸間的距離為
2
,且當(dāng)x∈[0,π]時(shí),函數(shù)f(x)的最小值為0.
(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式,并求f(x)的增區(qū)間;
(2)在△ABC中,若f(C)=1,且2sin2B=cosB+cos(A-C),求sinA的值.
分析:(1)利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式,二倍角公式,化簡(jiǎn)函數(shù)f(x)的解析式為 2sin(2ωx+
π
6
)+t,根據(jù)
周期性和最小值,求出ω 和 t 的值,即得函數(shù)的解析式為f(x)=2sin(
2
3
x+
π
6
)-1
,由2kπ-
π
2
2
3
x+
π
6
≤ 2kπ+
π
2
,求得x的范圍,就是f(x)的增區(qū)間.
(2)據(jù)f(C)=1,求得C=
π
2
,A+B=
π
2
,再由 2sin2B=cos B+cos(A-C),可得 1-sin2A=sinA,再由sinA>0
求得sinA 的值.
解答:解:(1)函數(shù)f(x)=
m
n
+t=cos2ωx+
3
sin2ωx+t=2sin(2ωx+
π
6
)+t,
2
=
1
2
T=
1
2
=
π
,可得ω=
1
3
,∴f(x)=2sin(
2
3
x+
π
6
)+ t

當(dāng)x∈[0,π]時(shí),
π
6
≤ 
2
3
x+
π
6
6
,
函數(shù)f(x)的最小值為1+t=0,∴t=-1,∴f(x)=2sin(
2
3
x+
π
6
)-1

2kπ-
π
2
2
3
x+
π
6
≤ 2kπ+
π
2
,k∈z,可得 3kπ-π≤x≤3kπ+
π
2
,
故f(x)的增區(qū)間為[3kπ-π,3kπ+
π
2
],k∈z.
(2)∵f(C)=1=2sin(
2C
3
+
π
6
 )-1,∴sin(
2C
3
+
π
6
)=1,由 0<C<π 可得,
 
π
6
2C
3
+
π
6
6
,∴
2C
3
+
π
6
=
π
2
,∴C=
π
2
,A+B=
π
2
. 
又 2sin2B=cos B+cos(A-C),∴2sin2(
π
2
-A)
=cos(
π
2
-A)+cos(A-
π
2
),
∴2cos2A=2sinA,即 1-sin2A=sinA,再由sinA>0,求得sinA=
-1+
5
2
點(diǎn)評(píng):本題考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式,二倍角公式,兩角和正弦公式,正弦函數(shù)的單調(diào)性,定義域和值域,根據(jù)
三角函數(shù)的值求角,求出函數(shù)f(x)的 解析式,是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知
m
=(sinωx+cosωx,
3
cosωx),
n
=(cosωx-sinωx,2sibωx),且ω>0,設(shè)f(x)=
m
n
,f(x)的圖象相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離等于
π
2

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)在△ABC中,a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊,b+c=4,f(A)=1,求△ABC面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知
m
=(sinωx+cosωx,2sinωx),
n
=(cosωx-sinωx,
3
cosωx),(ω>0),若f(x)=
m
n
f(
π
3
-x)=f(x)
,f(x)在(0,
π
3
)內(nèi)有最大值無(wú)最小值.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)在△ABC中,a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊,f(A)=1,其面積S△ABC=
3
,求△ABC周長(zhǎng)的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010-2011學(xué)年浙江省杭州市學(xué)軍中學(xué)高一(下)期中數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

向量m=(sinωx+cosωx,cosωx)(ω>0),n=(cosωx-sinωx,2sinωx),函數(shù)f(x)=m•n+t,若f(x)圖象上相鄰兩個(gè)對(duì)稱軸間的距離為,且當(dāng)x∈[0,π]時(shí),函數(shù)f(x)的最小值為0.
(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式,并求f(x)的增區(qū)間;
(2)在△ABC中,若f(C)=1,且2sin2B=cos B+cos(A-C),求sin A的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:模擬題 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=m·n,其中m=(sinωx+cosωx,cosωx),n=(cosωx-sinωx,2sinωx)(ω>0),若f(x)相鄰兩對(duì)稱軸間的距離小于。
(1)求ω的取值范圍;
(2)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,a=,b+c=3,當(dāng)ω最大時(shí),f(A)=1,求△ABC的面積。

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