Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a}{x}$+x+lnx，a∈R．
（Ⅰ）設(shè)曲線y=f（x）在x=1處的切線與直線x+2y-1=0平行，求此切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)a=0時(shí)，令函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{1}{2b}{x^2}$-x（b∈R且b≠0），求函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)；
（Ⅲ）令h（x）=$\frac{a}{x}$+x，對(duì)?x₁，x₂∈[1，+∞）且x₁＜x₂，都有h（x₁）-h（x₂）＜lnx₂-lnx₁成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，利用曲線y=f（x）在x=1處的切線與直線x+2y-1=0平行，求出a，可得切點(diǎn)坐標(biāo)，即可求此切線方程；
（Ⅱ）分類(lèi)討論，求導(dǎo)數(shù)，利用極值的定義，可得函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)；
（Ⅲ）由題意，等價(jià)于f（x）在x∈[1，+∞）上為增函數(shù)，從而a≤x²+x在x∈[1，+∞）上恒成立，即可求a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題意知：${f^'}（x）=-\frac{a}{x^2}+1+\frac{1}{x}$，…（1分）
∴$k={f^'}（1）=-a+2=-\frac{1}{2}$，
∴$a=\frac{5}{2}$，切點(diǎn)為$（1，\frac{7}{2}）$…（2分）
∴此切線方程為$y-\frac{7}{2}=-\frac{1}{2}（x-1）$，即x+2y-8=0．…（3分）
（Ⅱ）當(dāng)a=0時(shí)，$g（x）=x+lnx-\frac{1}{2b}{x^2}-x=lnx-\frac{1}{2b}{x^2}$，定義域?yàn)閤∈（0，+∞），
∴${g^'}（x）=\frac{1}{x}-\frac{x}=\frac{{b-{x^2}}}{bx}$…（4分）
①當(dāng)b＜0時(shí)，∴g′（x）＞0恒成立，∴g（x）在x∈（0，+∞）上為增函數(shù)，
∴g（x）在定義域內(nèi)無(wú)極值； …（5分）
②當(dāng)b＞0時(shí)，令g′（x）=0，∴$x=\sqrt$或$x=-\sqrt$（舍去），

x	$（0，\sqrt）$	$\sqrt$	$（\sqrt，+∞）$
g′（x）	+	0	-
g（x）	↑	極大值	↓

∴g（x）的極大值點(diǎn)為$\sqrt$，無(wú)極小值點(diǎn)； …（7分）
綜上：當(dāng)b＜0時(shí)，g（x）在定義域內(nèi)無(wú)極值；
當(dāng)b＞0時(shí)，g（x）的極大值點(diǎn)為$\sqrt$，無(wú)極小值點(diǎn)．…（8分）
（Ⅲ）∵$h（x）=\frac{a}{x}+x$，對(duì)?x₁，x₂∈[1，+∞）且x₁＜x₂，
∴$\frac{a}{x_1}+{x_1}-{x_2}-\frac{a}{x_2}＜ln{x_2}-ln{x_1}$，
∴$\frac{a}{x_1}+{x_1}+ln{x_1}＜\frac{a}{x_2}+{x_2}+ln{x_2}$，
即f（x₁）＜f（x₂），等價(jià)于f（x）在x∈[1，+∞）上為增函數(shù)，…（9分）
∴${f^'}（x）=-\frac{a}{x^2}+1+\frac{1}{x}=\frac{{{x^2}+x-a}}{x^2}≥0$在x∈[1，+∞）上恒成立，…（10分）
即a≤x²+x在x∈[1，+∞）上恒成立，…（11分）
令y=x²+x，只需a≤y_min即可．
∵y在x∈[1，+∞）上為增函數(shù)，
∴當(dāng)x=1時(shí)，y_min=2，…（12分）
∴a≤2．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的極值，考查恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，知識(shí)綜合性強(qiáng)．