Question

7．已知函數(shù)f（x）=-x²e^x．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-b在定義域內(nèi)恰有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）當(dāng)曲線(xiàn)y=f（x）的切線(xiàn)l的斜率為負(fù)數(shù)時(shí)，求l與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)F（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程f（x）=b在定義域內(nèi)有3個(gè)根，求出函數(shù)f（x）的最小值，從而求出b的范圍；
（3）曲線(xiàn)y=f（x）的切線(xiàn)l的斜率為負(fù)數(shù)，即曲線(xiàn)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)小于0，令f′（x）＜0，從而求出x的范圍．

解答 解：（1）f′（x）=-（x²+2x）e^x，
令 f′（x）＞0，解得-2＜x＜0，
令f′（x）＜0，解得x＜-2，或x＞0，
∴f（x）的遞增區(qū)間為（-2，0），遞減區(qū)間為（-∞，-2）和（0，+∞）；
（2）由（1）知f（x）_極小值=f（-2）=-$\frac{4}{{e}^{2}}$，f（x）極大值=f（0）=0，
∵函數(shù)g（x）=f（x）-b在定義域內(nèi)恰有三個(gè)零點(diǎn)，
即方程f（x）=b在定義域內(nèi)有3個(gè)根，
∴b∈（-$\frac{4}{{e}^{2}}$，0）；
（3）曲線(xiàn)y=f（x）的切線(xiàn)l的斜率為負(fù)數(shù)，
即曲線(xiàn)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)小于0，
由（1）得：f′（x）＜0，解得x＜-2，或x＞0，
故x的范圍是（-∞，-2）∪（0，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，本題屬于中檔題．