Question

已知雙曲線

x2

3

-y2=1的左右焦點(diǎn)分別為F₁F₂，過F₁且傾斜角為60°的直線l與雙曲線交于M，N兩點(diǎn)，則△MNF₂的內(nèi)切圓半徑為

3

3

．

Answer 1

分析：依題意可求得直線MN的方程，與

x2

3

-y²=1聯(lián)立，可求得|MN|，再利用雙曲線的定義可求得△MNF₂的周長，設(shè)F₂到直線MN的距離為d，利用△MNF₂的面積公式即可求得△MNF₂的內(nèi)切圓半徑．

解答：解：∵

x2

3

-y²=1的右焦點(diǎn)為F₂（2，0），左焦點(diǎn)為F₁（-2，0），
∴過F₁且傾斜角為60°的直線l方程為：y=

3

（x+2），
∴由

x2 3 -y2=1 y= 3 (x+2)

消去y得：8x²+36x+39=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x₁，x₂是方程8x²+36x+39=0的兩根．
∴x₁+x₂=-

9

2

，x₁x₂=

39

8

，
∴|MN|=

1+( 3 )2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=2

81 4 -4× 39 8

=

3

．
∵|MF₂|-|MF₁|=2

3

，
|NF₂|-|NF₁|=2

3

，
∴|MF₂|+|NF₂|=4

3

+|MN|=5

3

．
∴△MNF₂的周長為|MF₂|+|NF₂|+|MN|=6

3

；
設(shè)F₂（2，0）到直線MN

3

x-y+2

3

=0的距離為d，
則d=

| 3 ×2+2 3 |

( 3 )2+(-1)2

=2

3

，
∴S△MNF2=

1

2

|MN|•d=

1

2

×

3

×2

3

=3．
設(shè)△MNF₂的內(nèi)切圓半徑為r，
則S△MNF2=

1

2

（|MF₂|+|NF₂|+|MN|）•r=3

3

r，
∴3

3

r=3，
∴r=

3

3

．
故答案為：

3

3

．

點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的相交，考查點(diǎn)到直線間的距離公式，考查轉(zhuǎn)化與運(yùn)算的綜合應(yīng)用，屬于難題．