Question

已知點F是橢圓右焦點，點M（m，0）、N（0，n）分別是x軸、y軸上的動點，且滿足，若點P滿足．
（1）求P點的軌跡C的方程；
（2）設(shè)過點F任作一直線與點P的軌跡C交于A、B兩點，直線OA、OB與直線x=-a分別交于點S、T（其中O為坐標(biāo)原點），試判斷是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)點P（x，y），由題意可知，點F的坐標(biāo)為（a，0），，由得，消去n與m可得y²=4ax．
（2）設(shè)過F點的直線l方程為：y=k（x-a），與軌跡C交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點，得：k²x²-（2ka+4a）x+k²a²=0，則x₁x₂=a²，y₁y₂=-4a²．得直線OA的方程為：，所以點S為；同理得點T為；表示出即可得到答案．
解答：解：（1）設(shè)點P（x，y），由題意可知，點F的坐標(biāo)為（a，0），
則，，①，
由得：（x，y）=（-m，2n），即②，
將②式代入①式得：y²=4ax
（2）設(shè)過F點的直線l方程為：y=k（x-a），與軌跡C交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點，
聯(lián)立得：k²x²-（2ka+4a）x+k²a²=0，
則x₁x₂=a²，．
由于直線OA的方程為：，則點S的坐標(biāo)為；
同理可得點T的坐標(biāo)為；
故，，
則．
點評：解決此類題目的關(guān)鍵是熟練掌握求軌跡方程的方法（消參法），以及設(shè)點利用點表示有關(guān)的向量的表達式即可，此題對計算能力要求較高．