Question

13．已知傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線l被雙曲線x²-4y²=60截得弦長(zhǎng)|AB|=8$\sqrt{2}$，以AB為直徑的圓的方程為（x+12）²+（y+3）=32或（x-12）²+（y-3）=32．

Answer 1

分析 設(shè)直線的方程為y=x+b，代入x²-4y²=60，整理可得3x²+8bx+4b²+60=0，利用弦長(zhǎng)|AB|=8$\sqrt{2}$，求出b，再求出A，B的坐標(biāo)，即可求出以AB為直徑的圓的方程．

解答 解：設(shè)直線的方程為y=x+b，代入x²-4y²=60，整理可得3x²+8bx+4b²+60=0，
∵|AB|=8$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{1+1}•\sqrt{（-\frac{8b}{3}）^{2}-4•\frac{4^{2}+60}{3}}$=8$\sqrt{2}$，
∴b=±9，
b=9時(shí)，3x²+8bx+4b²+60=0為x²+24x+128=0，∴x=-8或-16，
∴A（-8，1），B（-16，-7），
∴以AB為直徑的圓的方程為（x+12）²+（y+3）²=32；
b=-9時(shí)，3x²+8bx+4b²+60=0為x²-24x+128=0，∴x=8或16，
∴A（8，-1），B（16，7），
∴以AB為直徑的圓的方程為（x-12）²+（y-3）²=32．
故答案為：（x+12）²+（y+3）²=32或（x-12）²+（y-3）²=32．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓錐曲線的應(yīng)用及運(yùn)算化簡(jiǎn)能力，考查圓的方程，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．