Question

如圖，三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC是等邊三角形，E是BC中點(diǎn)，若PA=AB，則異面直線PE與AB所成角的余弦值（　�。�

• A．

  3 7

  14

• B．

  21

  6

• C．

  5

  10

• D．

  2

  3

Answer 1

分析：平移法：取AC中點(diǎn)F，連接EF、PF，可證∠PEF即為異面直線PE與AB所成角或其補(bǔ)角．設(shè)等邊三角形△ABC的邊長為2，在△PEF中，由余弦定理即可求出cos∠PEF．

解答：解：取AC中點(diǎn)F，連接EF、PF，
∵E為BC中點(diǎn)，∴EF∥AB，則∠PEF即為異面直線PE與AB所成角或其補(bǔ)角．
∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，
設(shè)等邊三角形△ABC的邊長為2，∵PA=AB，∴PA=2，
在Rt△PAF中，PA=2，AF=1，所以PF=

5

，
又E、F分別為BC、AC中點(diǎn)，所以EF=1，
在等腰Rt△PAC中，PC=2

2

，同理PB=2

2

，
∴PC=PB，PE⊥BC，在Rt△PEB中，PE=

(2 2 )2-12

=

7

．
在△PEF中，cos∠PEF=

PE2+FE2-PF2

2•PE•FE

=

7+1-5

2× 7 ×1

=

3 7

14

．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線所成角的求法，通過平移把異面角轉(zhuǎn)化為平面角處理是常用方法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思．