Question

以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中：
①設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，|

PA

|-|

PB

|=k，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；
②以定點(diǎn)A為焦點(diǎn)，定直線l為準(zhǔn)線的橢圓（A不在l上）有無(wú)數(shù)多個(gè)；
③方程2x²-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④過(guò)原點(diǎn)O任做一直線，若與拋物線y²=3x，y²=7x分別交于A、B兩點(diǎn)，則

OA

OB

為定值．
其中真命題的序號(hào)為

 

（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

分析：利用雙曲線，橢圓的定義可確定①②，通過(guò)解方程可的③，利用直線與拋物線的關(guān)系求得A，B的坐標(biāo)從而求得

OA

OB

，繼而得答案．

解答：解：①由雙曲線的定義可得，|

PA

|-|

PB

|=k，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的一支．②不對(duì)．
②以定點(diǎn)A為焦點(diǎn)，定直線l為準(zhǔn)線的橢圓（A不在l上），離心率的值有無(wú)數(shù)個(gè)，故橢圓有無(wú)數(shù)多個(gè)；②對(duì)．
③方程2x²-5x+2=0的兩根為：2，

1

2

，故可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；③對(duì)
④設(shè)過(guò)原點(diǎn)O的直線方程為y=kx k≠0，A，B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂） 聯(lián)立

y=kx y2=3x

，消去x，可得y₁=

3

k

，x₁=

3

k2

，同理可得y₂=

7

k

，x₂=

7

k2

∴

OA

OB

=

y1

y2

=

3

7

為定值．④對(duì)．
故答案為：②③④

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓，雙曲線的定義，及圓錐曲線的共同特征---離心率，考查了學(xué)生的靈活把握定義及基礎(chǔ)知識(shí)的能了，是個(gè)基礎(chǔ)題．