Question

設(shè)橢圓C：（a＞b＞0） 的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，上頂點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A與AF₂垂直的直線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)Q，且，
(Ⅰ)求橢圓C的離心率；
(Ⅱ)若過(guò)A，Q，F(xiàn)₂三點(diǎn)的圓恰好與直線l：相切，求橢圓C的方程：
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，過(guò)右焦點(diǎn)F₂作斜率為k的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)P(m，0)使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出m的取值范圍；如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)設(shè)，由知，
∵，
∴，
由，得F₁為的中點(diǎn)，
故，
∴，
故橢圓的離心率。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，即，
于是，
的外接圓圓心為，半徑，
所以，由已知，得，解得：a=2，
∴，
所求橢圓方程為。
(Ⅲ)由(Ⅱ)知，
由得，
設(shè)，
則，
，
由于菱形對(duì)角線垂直，則，
故，
則，
，
由已知條件知k≠0且k∈R，
∴，∴，
故存在滿足題意的P且m的取值范圍是。