證明不等式：1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＜2
n
對任意的正整數(shù)n恒成立．
分析：利用數(shù)學歸納法證明①當n=1時，驗證不等式成立；②假設n=k（k≥1）時，不等式成立，然后證明當n=k+1時，不等式也成立．即可．
解答：證明：①當n=1時，不等式左端=1，右端=2，所以不等式成立；
②假設n=k（k≥1）時，不等式成立，即1+
1
2
+
1
3
+…+
1
k
＜2
k
，
則1+
1
2
+
1
3
+…+
1
k
+
1
k+1
＜2
k
+
1
k+1

=
2
k(k+1)
+1
k+1
＜
k+(k+1)+1
k+1
=2
k+1

∴當n=k+1時，不等式也成立．
綜合①②得：當n∈N*時，都有1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＜2
n
．
點評：本題考查數(shù)學歸納法證明不等式的應用，考查邏輯推理能力，計算能力以及轉(zhuǎn)化思想．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

用數(shù)學歸納法證明不等式“
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n
＞
13
24
（n＞2）”時的過程中，由n=k到n=k+1時，不等式的左邊（　�。�
A、增加了一項
1
2(k+1)
B、增加了兩項
1
2k+1
+
1
2(k+1)
C、增加了兩項
1
2k+1
+
1
2(k+1)
，又減少了一項
1
k+1
D、增加了一項
1
2(k+1)
，又減少了一項
1
k+1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

利用數(shù)學歸納法證明不等式
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
n+n
＞
1
2
（n＞1，n?N*）的過程中，用n=k+1時左邊的代數(shù)式減去n=k時左邊的代數(shù)式的結果為（　�。�
A、
1
2(k+1)
B、
1
2k+1
+
1
2(k+1)
C、
1
2k+1
-
1
2(k+1)
D、
1
2k+1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

利用數(shù)學歸納法證明不等式
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
n+n
＞
13
14
時，由k遞推到k+1時，左邊應添加的因式為（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給出下列五個命題：其中正確的命題有
②③④
②③④
（填序號）．
①函數(shù)y=sinx（x∈[-π，π]）的圖象與x軸圍成的圖形的面積S=
∫
π
-π
sinxdx；
②
C
r+1
n+1
=
C
r+1
n
+
C
r
n
；
③在（a+b）n的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和；
④i+i2+i3+…i2012=0；
⑤用數(shù)學歸納法證明不等式
1
n+1
+
1
n+2
+
1
n+3
+…+
1
2n
＞
13
24
，(n≥2，n∈N*)的過程中，由假設n=k成立推到n=k+1成立時，只需證明
1
k+1
+
1
k+2
+
1
k+3
+…+
1
2k
+
1
2k+1
+
1
2(k+1)
＞
13
24
即可．

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