Question

已知(1-3x)8=a0+a1x+a2x2+…+a7x7+a8x8．
（1）求a₂+a₄+a₆+a₇+a₈；
（2）求|a₀|+|a₁|+|a₂|+|a₃|+|a₄|+|a₅|+|a₆|+|a₇|+|a₈|．
（3）求(a0+a2+a4+a6+a8)2-(a1+a3+a5+a7)2．

Answer 1

分析：（1）由已知條件結(jié)合（1-3x）⁸ 的展開式通項公式，可得a₂、a₄、a₆、a₇、a₈ 的值，從而求得a₂+a₄+a₆+a₇+a₈的值．
（2）由題意可得，|a₀|+|a₁|+|a₂|+|a₃|+|a₄|+|a₅|+|a₆|+|a₇|+|a₈|，即（1+3x）⁸ 的展開式中各項的系數(shù)和，令x=1，可得結(jié)果．
（3）在(1-3x)8=a0+a1x+a2x2+…+a7x7+a8x8 中，分別令x=-1、x=1，可得兩個等式，再把這兩個等式相乘，化簡即得所求．

解答：解：（1）由于已知(1-3x)8=a0+a1x+a2x2+…+a7x7+a8x8，
（1-3x）⁸ 的展開式通項公式為 T_r+1=

C

r 8

•（-3x）^r，
∴a₂+a₄+a₆+a₇+a₈ =

C

2 8

•(-3) 2+

C

4 8

•(-3) 4+

C

6 8

•(-3) 6+

C

7 8

•(-3) 7+

C

8 8

•(-3) 8
=776+5670+20412-17496+6561=15923．
（2）由題意可得，|a₀|+|a₁|+|a₂|+|a₃|+|a₄|+|a₅|+|a₆|+|a₇|+|a₈|，即（1+3x）⁸ 的展開式中各項的系數(shù)和，
令x=1，可得各項系數(shù)和為 4⁸．
（3）在(1-3x)8=a0+a1x+a2x2+…+a7x7+a8x8 中，
令x=-1，可得（a₀-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅+a₆-a₇+a₈）=4⁸  ①，
令x=1，可得（a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇+a₈）=2⁸ ②．
把①②相乘，可得 (a0+a2+a4+a6+a8)2-(a1+a3+a5+a7)2=4⁸×2⁸=16⁸．

點評：本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式的應(yīng)用．是給變量賦值的問題，關(guān)鍵是根據(jù)要求的結(jié)果，選擇合適的數(shù)值代入，屬于中檔題．