Question

已知數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=|n-13|，那么滿足a_k+a_k+1+…+a_k+19=102的正整數(shù)k=______．

Answer 1

∵a_n=|n-13|，∴a_n=

13-n    n≤13 n-13    n＞13

，
∴當n≤13時，{a_n}的前n項和為S_n=

25n-n2

2

，
當n＞13時，{a_n}的前n項和為S_n=

1

2

(n2-25n+312)
滿足a_k+a_k+1+…+a_k+19=102，即a_k+a_k+1+…+a_k+19=S_k+19-S_k-1=102，k是正整數(shù)
而S_k+19=

1

2

[(k+19)2-25(k+19)+312]=

1

2

（k²+13k+198）
①當k-1≤13時，S_k-1=-

1

2

k²+k-13，
所以S_k+19-S_k-1=

1

2

（k²+13k+198）-（-

1

2

k²+

27

2

k-13）=102，解之得k=2或k=5
②當k-1＞13時，S_k-1=

1

2

[(k-1)2-25(k-1)+312]=

1

2

（k²-27k+338）
所以S_k+19-S_k-1=

1

2

（k²+13k+198）-

1

2

（k²-27k+338）=102，解之得k不是整數(shù)，舍去
綜上所述，滿足條件的k=2或5
故答案為：2或5