Question

如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是棱AA₁、CC₁的中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)E到面對(duì)角線BD的距離；
（2）求證：四邊形BED₁F是菱形．

Answer 1

【答案】分析：（1）連結(jié)AC與BD交于O點(diǎn)，連EO，利用線面垂直的性質(zhì)與判定證出EO⊥BD，從而點(diǎn)E到面對(duì)角線BD的距離即為EO的長(zhǎng)，在Rt△EAO中利用勾股定理算出，即得點(diǎn)E到面對(duì)角線BD的距離；
（2）DD₁的中點(diǎn)M，連結(jié)AM、FM，證出FM與AB平行且相等，得到四邊形FMAB為平行四邊形，從而得到平行四邊形
AMD₁E中ED₁與AM平行且相等，從而得到四邊形EBFD₁是平行四邊形，再算出EB=BF即可證出四邊形EBFD₁是菱形．
解答：解：（1）連結(jié)AC與BD交于O點(diǎn)，連EO，則BD⊥AO
∵EA⊥平面ABCD，∴EO在平面ABCD上的射影為AO
結(jié)合BD⊥AO，得EO⊥BD
∴點(diǎn)E到面對(duì)角線BD的距離即為EO的長(zhǎng)…（3分）
在Rt△EAO中，，
∴
即點(diǎn)E到面對(duì)角線BD的距離為…（6分）
（2）取DD₁的中點(diǎn)M，連結(jié)AM、FM
∵FM∥CD∥AB，且FM=CD=AB，∴四邊形FMAB為平行四邊形
可得BF∥AM，且BF=AM
又∵四邊形AMD₁E也是平行四邊形，
∴ED₁∥AM，且ED₁=AM
∴BF∥ED₁，且BF=ED₁，可得四邊形EBFD₁是平行四邊形，（10分）
又∵EB==BF，∴四邊形EBFD₁是菱形…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題在正方體中求點(diǎn)線距離，并證明四邊形為菱形，著重考查了正方體的性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)、勾股定理和平行四邊形形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．