數(shù)列{an}中，a1=1，對任意的自然數(shù)，當an是有理數(shù)時an+1=an，當an為無理數(shù)時，an+1=an -()n．

1)求{an}的通項公式．

(2)求(a1+a2+…+a2n)．

 

答案：
解析：

解：(1)由a1=1，，，

　　，，，

　　猜想當n為奇數(shù)時，

　　當n為偶數(shù)時．

　　下面用數(shù)學歸納法證明上面的猜想：

　�、佼�n=1，n=2時，猜想公式成立；

　�、诩僭O當n=k，k為奇數(shù)時，有(是有理數(shù))成立，則當n=k+1時，，這就是說當n=k+1時猜想也成立．

　　假設當n=k，k為偶數(shù)時，有ak=(是無理數(shù))成立，那么當n=k+1時，，這就是說，當n=k+1時，猜想也成立，由①②知，對一切自然數(shù)n，所求通項公式成立．

　　(2)S2n=a1+a2+a3+…+a2n

　　　　 =(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)

　　　　 ，

　　∴　(a1+a2+…+a2n)

　　=(a1+a3+a5+…)+(a2+a4+a6+…)

　　

　　．

 


練習冊系列答案
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數(shù)列{an}中，a1=1，an=
12
an-1+1（n≥2），求通項公式an．

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1
5
，an+an+1=
6
5n+1
，n∈N*，則
lim
n→∞
（a1+a2+…+an）等于（　　）
A、
2
5
B、
2
7
C、
1
4
D、
4
25

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3
3
．

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（2007•長寧區(qū)一模）如果一個數(shù)列{an}對任意正整數(shù)n滿足an+an+1=h（其中h為常數(shù)），則稱數(shù)列{an}為等和數(shù)列，h是公和，Sn是其前n項和．已知等和數(shù)列{an}中，a1=1，h=-3，則S2008=
-3012
-3012
．

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