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如圖,已知點A(0,2)和拋物線y2=x+4上兩點B、C,使得AB⊥BC,求點C的縱坐標的取值范圍.
分析:設B(y12-4,y1)、C(y2-4,y),表示出直線AB的斜率,根據AB⊥BC可知直線BC的斜率,進而把直線AB方程與拋物線方程聯立消去x,根據判別式大于等于0求得y的范圍.
解答:解:設B(y12-4,y1)、C(y2-4,y),顯然y12-4≠0,故kAB=
y1-2
y12-4
=
1
y1+2

由于AB⊥BC,∴kBC=-(y1+2),從而
y-y1=-(y1+2)[x-(y12-4)]
y2=x+4

消去x,注意到y(tǒng)≠y1,得(2+y1)(y+y1)+1=0⇒y12+(2+y)y1+(2y+1)=0,∵
由△≥0,解得y≤0或y≥4,
當y=0時,點B的坐標為(-3,-1),當y=4時,點B的坐標為(5,-3),均滿足題意,
故點C的縱坐標的取值范圍是y≤0或y≥4.
點評:本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題.常需借助韋達定理和判別式來解決問題.
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(Ⅱ)記(Ⅰ)中所得的曲線為C.過原點O作兩條直線l1:y=k1x,l2:y=k2x分別交曲線C于點E(x1,y1)、F(x2,y2)、G(x3,y3)、H(x4,y4)(其中y2>0,y4>0).求證:
k1x1x2
x1+x2
=
k2x3x4
x3+x4

(III)對于(Ⅱ)中的E、F、G、H,設EH交x軸于點Q,GF交x軸于點R.求證:|OQ|=|OR|.(證明過程不考慮EH或GF垂直于x軸的情形)

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(III)對于(Ⅱ)中的E、F、G、H,設EH交x軸于點Q,GF交x軸于點R.求證:|OQ|=|OR|.(證明過程不考慮EH或GF垂直于x軸的情形)

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