Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均是正數(shù)，前n項(xiàng)和為S_n，且滿(mǎn)足（p-1）S_n=p⁹-a_n，其中p為正常數(shù)，且p≠1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=

1

9-logpan

(n∈N+)，求數(shù)列{b_nb_n+1}的n項(xiàng)和T_n；
（3）設(shè)c_n=log₂a_2n-1，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和是H_n，若當(dāng)n∈N⁺時(shí)H_n存在最大值，求p的取值范圍，并求出該最大值．

Answer 1

分析：（1）利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

及其已知遞推式即可得出；
（2）利用“裂項(xiàng)求和”即可得出；
（3）方法一：利用通項(xiàng)，通過(guò)對(duì)公差討論及其c_n≥0，c_n+1≤0，即可得出；
方法二：求出其前n項(xiàng)H_n，通過(guò)對(duì)p分類(lèi)討論，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答：解（1）當(dāng)n=1時(shí)，(p-1)a1=p9-a1，解得a1=p8＞0，
同時(shí)

(p-1)Sn=p9-an (p-1)Sn+1=p9-an+1

相減得：（p-1）（S_n+1-S_n）=a_n-a_n+1，且p≠1
整理得an+1=

1

p

an，則數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)是p⁸，公比是

1

p

的等比數(shù)列．
∴an=p8(

1

p

)n-1=p9-n．
（2）bn=

1

9-logpan

=

1

9-logpp9-n

=

1

n

，
bnbn+1=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
T_n=b₁b₂+b₂b₃+b₃b₄+…+b_nb_n+1
=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
（3）cn=log2a2n-1=log2p10-2n=(10-2n)log2p．
∵c_n+1-c_n=-2log₂p，
∴{c_n}是一個(gè)首項(xiàng)是c₁=8log₂p，公差是d=-2log₂p的等差數(shù)列．
方法一：當(dāng)0＜p＜1時(shí)，log₂p＜0，此時(shí)H_n是存在最小值，沒(méi)有最大值；
當(dāng)p＞1時(shí)，log₂p＞0，此時(shí)H_n存在最大值，
由

an=(10-2n)log2p≥0 an+1=(8-2n)log2p≤0

得4≤n≤5，則H₄=H₅且為最大值，H4=4×8log2p+

4(4-1)

2

•(-2log2p)=20log2p．
方法二：Hn=

n[8log2p+(10-2n)log2p]

2

=(9n-n2)(log2p)=(-log2p)[(n-

9

2

)2-

81

4

]
由上式可知：當(dāng)0＜p＜1時(shí)log₂p＜0，此時(shí)H_n是存在最小值，沒(méi)有最大值；
當(dāng)p＞1時(shí)log₂p＞0，此時(shí)H_n存在最大值，且H₄=H₅且為最大值，H4=(9×4-42)log2p=20log2p
故當(dāng)p＞1時(shí)H_n存在最大值，H₄=H₅且為最大值是20log₂p．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

及其已知遞推式求a_n、“裂項(xiàng)求和”、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、分類(lèi)討論、二次函數(shù)的單調(diào)性等是解題的關(guān)鍵．