Question

已知橢圓C：（），其離心率為，兩準線之間的距離為。（1）求之值；（2）設(shè)點A坐標為(6, 0)，B為橢圓C上的動點，以A為直角頂點，作等腰直角△ABP（字母A，B，P按順時針方向排列），求P點的軌跡方程。

Answer 1

（1）a＝5，b＝3（2）

解析:

（1）設(shè)c為橢圓的焦半徑，則

。

于是有a＝5，b＝3。

（2） 解法一：設(shè)B點坐標為，P點坐標為。于是有

因為，所以有

。           (A1 )

又因為ABP為等腰直角三角形，所以有 AB=AP，即 

。              (A2 )  

由（A1）推出，代入（A2），得

        

從而有 ，即（不合題意，舍去）或。

代入橢圓方程，即得動點P的軌跡方程

解法二： 設(shè),，則以A為圓心，r為半徑的圓的參數(shù)方程為

。

設(shè)AB與x軸正方向夾角為，B點的參數(shù)表示為

，

P點的參數(shù)表示為

.

從上面兩式，得到

。

又由于B點在橢圓上，可得

。

此即為P點的軌跡方程。